Zweistein Zählen und Rechnungen wie Addition und Multiplikation gehören fast notwendigerweise zu den frühen Erfahrungen. Leider haben sie viele aus der Schule nur in negativer Erinnerung. Das muss aber nicht sein und die Anwendungen von Arithmetik sind so wichtig, dass etwas Überlegung durchaus gerechtfertigt ist.
Woher kommen die Mathe-Regeln?
Die eigentliche Natur der Zahlen ist immer noch ein Thema für Philosophen. Für den Umgang mit Zahlen reichen aber schon ihre einfachen Eigenschaften aus. Diese lassen sich mit Murmeln darstellen und so auch verstehen. Weiter bewiesen werden müssen sie nicht.
Addition und Multiplikation lassen sich so erschließen und das gilt auch für weitere Regeln wie das Kommutativ- und das Distributivgesetz.
All das ist Teil der Geschichte der Arithmetik, die für Interessierte eine Fundgrube darstellt. Sinnvoll ist es auf jeden Fall, die Mathe-Regeln so aufzubauen, dass ein roter Faden sichtbar wird.
Die Stellenschreibweise
Wir beginnen mit der Zahl eins, deren wiederholte Addition das Zählen darstellt. Als nächsten Schritt wählen wir als Grundzahl die Anzahl zehn unserer Finger. Wir multiplizieren sie mit sich selbst und gelangen so zu Hundert, Tausend und den weiteren Zehnerpotenzen. Es liegt dann unmittelbar nahe, eine beliebige natürliche Zahl als Summe von Vielfachen dieser Zehnerpotenzen darzustellen. Nimmt man jeweils die höchstmögliche solche Zehnerpotenz, kommen als Vielfache nur die Zahlen bis Neun in Frage.
Als Schreibweise wählen wir wiederum die naheliegendste Art der Reihung nach Größe. Nur die Richtung von links nach rechts müssen wir einmal festlegen. Daraus ergibt sich dann die Verwendung von Null als Platzhalter.
Das Kommutativgesetz
Es besagt einfach, dass es bei der Addition nicht auf die Reihenfolge ankommt. Die Rechnungen 56 + 23 und 23 + 56 haben also dasselbe Ergebnis. Die Anwendungen gehen aber viel weiter. Eigentlich rechnen wir hier ja 5.10 + 6.1 + 2.10 + 3.1 aus. Das Kommutativgesetz erlaubt es uns nun, das als 5.10 + 6.1 + 3.1 + 2.10 zu rechnen. Das ist nichts anderes als das stellenweise Addieren. Praktisch wird es durch Untereinanderschreiben der Zahlen umgesetzt.
Das Distributivgesetz
Es kann als Kern der elementaren Arithmetik betrachtet werden. Die Idee ist, den Ausdruck a.(b+c) auf zwei verschiedene Arten auszurechnen. Man kann zuerst b+c bestimmen und das Resultat mit a multiplizieren. Genauso kann man aber a.b und a.c berechnen und die zwei Produkte addieren.
Wie sieht nun eine typische Multiplikation aus? Wollen wir das Produkt 56 . 23 berechnen, läuft das darauf hinaus, in einem ersten Schritt (5.10 + 6.1) . 23 zu schreiben. Statt die Summe zuerst zu bestimmen, multiplizieren wir 23 mit 5 und mit 6. Das Produkt mit 5 muss dann noch mit 10 multipliziert werden, was aber sehr einfach ist.
Die Regel kann und wird oft mehrmals angewendet. Auch in diesem Beispiel können wir die Multiplikation 5 . 23 als 5 . (2.10 + 3.1) ansehen und dieselbe Methode anwenden.
Die schnell zu schreibenden Verfahren aus der Schule lassen sich also auf wenige Grundideen zurückführen.
