Die Mathematik hinter GPS

Erfahren Sie mehr über die Geschichte und Mathematik hinter dem Globalen Positionsbestimmungssystem.

Haben Sie schon einmal eine Kartierungs-App auf Ihrem Handy geöffnet oder Ihren Standort in sozialen Medien getaggt?

Ihr Handy kann dies tun, weil es auf das Global Positioning System oder GPS zugreifen kann. Dieses Satellitensystem hilft uns, herauszufinden, wo wir sind und wohin wir wollen.

Wir verlassen uns nicht nur auf GPS in unseren Handys, sondern es ist auch wichtig für Schiffe, Flugzeuge, Rettungswagen und vieles mehr. Trotzdem wissen viele von uns nicht viel über Mathematik, Wissenschaft und Geschichte dieser Technologie. Wie kann ein System, das in ein Smartphone passt, sofort Ihren Standort bestimmen?

Geschichte von GPS

In den 1950er Jahren entwickelten Forscher das erste Satellitennavigationssystem für militärische Zwecke. Nach jahrzehntelangen Verbesserungen begann die Zivilbevölkerung in den 1980er Jahren, GPS zu nutzen. Das System ist seit 1994 voll funktionsfähig. Die Regierung der Vereinigten Staaten besitzt und unterhält das Global Positioning System, das wir in Nordamerika nutzen.

Wissenschaftler aus vielen verschiedenen Bereichen haben zur Entwicklung des GPS beigetragen. Gladys Mae West war eine der Mathematikerinnen, die dieses System möglich gemacht haben. Sie schuf ein unglaublich detailliertes mathematisches Modell der Form der Erde. Dieses Modell ermöglicht es dem GPS, Positionen auf der Erde genau zu lokalisieren.

Roger Easton, Ivan Getting und Bradford Parkinson spielten ebenfalls eine Schlüsselrolle bei der Entwicklung des GPS. Diese Physiker und Ingenieure entwickelten Methoden zur Ortung von Satelliten und Orten auf der Erde.

Wie funktioniert das GPS?

Vor der Entwicklung des GPS nutzten die Menschen eine Vielzahl verschiedener Navigationstechniken. Seeleute nutzten oft die Position der Sterne, um zu wissen, in welche Richtung sie fuhren.

Welche Probleme können bei der Verwendung von Sternen zur Navigation auftreten?

Navigationstechniken helfen den Menschen, ihren Breiten- und Längengrad zu bestimmen. Die Längengrade verlaufen von Norden nach Süden. Die Linie des 0º Längengrades verläuft durch Greenwich, England. Die Breitengrade verlaufen von Osten nach Westen. Die Linie des 0. Breitengrades ist der Äquator. Wenn Sie sowohl Ihren Längen- als auch Ihren Breitengrad kennen, können Sie Ihre Position auf dem Globus bestimmen.

Längen- und Breitengrade auf der Erde

Anstatt sich auf die Sterne zu verlassen, verwendet das GPS Satelliten, um Längen- und Breitengrad zu bestimmen. GPS nutzt ein Netz von über 30 Satelliten. Diese Satelliten umkreisen die Erde zweimal am Tag. Kontrollzentren auf dem Boden sorgen dafür, dass die Satelliten ordnungsgemäß funktionieren.

Diese Satelliten kommunizieren mit Empfängern. Ein Empfänger kann sich in Ihrem Smartphone, Auto oder Computer befinden. Die Empfänger erhalten Signale von den Satelliten. Signale bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit. Das sind etwa 300.000.000 Meter pro Sekunde).

Ein wichtiger Teil des Signals ist die genaue Zeit. Satelliten kennen die Zeit mit Hilfe unglaublich genauer Atomuhren.

Ein Empfänger verwendet die folgende Formel:

Entfernung = Signalgeschwindigkeit x Signalzeit

Die Signalgeschwindigkeit ist die Lichtgeschwindigkeit (etwa 300.000.000 m/s). Die Signalzeit ist die Zeit, die das Signal benötigt, um vom Satelliten zum Empfänger zu gelangen. Multipliziert man diese beiden Zahlen, erhält man die Entfernung zwischen Satellit und Empfänger.

Stellen Sie sich zum Beispiel vor, dass ein Signal 0,005 Sekunden braucht, um von einem Satelliten zu Ihrem Telefon zu gelangen.

Entfernung = 300.000.000 m/s x 0,005 s = 1.500.000 Meter

Das bedeutet, dass der Satellit 1,5 Millionen Meter oder 1500 Kilometer vom Empfänger entfernt ist.

Wie weit ist ein Satellit von einem Empfänger entfernt, wenn ein Signal, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, 0,02 Sekunden braucht, um den Empfänger zu erreichen? Geben Sie Ihre Antwort in Metern und Kilometern an.

Wenn man jedoch weiß, wie weit man von einem Satelliten entfernt ist, kann man seine Position nicht bestimmen. Deshalb verwendet das GPS die Trilateration.

Trilateration:

Bei der Trilateration wird ein Punkt anhand der Entfernung zu drei anderen Punkten bestimmt. Für dieses Verfahren müssen sich mehrere Satelliten mit dem Empfänger verbinden. Die Entfernung zwischen dem Empfänger und mehreren Satelliten wird berechnet. Die Trilateration ist eine Methode zur Verwendung dieser Entfernungsinformationen, um einen Standort zu finden.

Hier ein einfaches Beispiel dafür, wie Trilateration funktioniert. Stellen Sie sich vor, Sie stehen auf einem Fußballfeld. Stellen Sie sich nun vor, dass Sie versuchen, einen Ball auf dem Feld anhand der folgenden Hinweise zu finden.

1. Der Ball ist 20 m von der rechten unteren Ecke entfernt.
2. Der Ball ist 40 m von der Mitte des Feldes entfernt.
3. Der Ball ist 15 m von der Mitte des linken Tores entfernt.

Kannst du anhand dieser drei Hinweise den Fußball finden?

Zunächst können wir einen Kreis mit einem Radius von 20 Metern um die rechte untere Ecke ziehen. Wir wissen jetzt, dass sich der Ball irgendwo auf der rechten Seite befindet.

Dann können wir einen Kreis mit einem Radius von 40 Metern um die Mitte des Spielfelds ziehen. Wo sind nun die beiden möglichen Orte, an denen sich der Ball befinden könnte? Erinnere dich daran, dass der Ball auf dem Kreis liegt.

Du hast wahrscheinlich erkannt, dass es die beiden Stellen sind, an denen sich die Kreise kreuzen.

Um herauszufinden, welcher dieser beiden Orte der richtige ist, müssen wir den dritten Hinweis verwenden. Sobald wir den dritten Kreis eingezeichnet haben, wissen wir genau, wo sich der Ball befindet.

Das Beispiel mit dem Fußball ist eine 2D-Trilateration. Bei der Trilateration mit Satelliten wird die gleiche Methode angewandt. Bei der 3D-Trilateration werden jedoch nicht Kreise, sondern Kugeln gekreuzt.

Wie im obigen Beispiel gezeigt, sind für die Trilateration nur drei Satelliten erforderlich. Wozu brauchen wir also einen vierten Satelliten? Der vierte Satellit gleicht Fehler in der Uhr des Empfängers aus. Dadurch wird das GPS noch genauer. Derzeit kennt ein GPS-fähiges Smartphone Ihren Standort in der Regel auf etwa 5 Meter genau.

Die Nutzung der Satellitennavigation ist zu einem normalen Bestandteil unseres Alltags geworden. Karten-Apps helfen uns, uns in der Welt zurechtzufinden. Wir nutzen GPS für viele soziale Aktivitäten, z.B. für das Geotaggen von Posts oder Geocaching. Ersthelfer nutzen GPS von Firmen wie https://www.salind-gps.de/, um schnell an den Ort des Geschehens zu gelangen und auf Katastrophen zu reagieren. GPS hilft auch Flugzeugen, sicher an ihr Ziel zu gelangen. Wissenschaftler nutzen GPS, um das Wetter vorherzusagen. Dies sind nur einige der Möglichkeiten, wie wir diese Technologie nutzen.

Wenn Sie das nächste Mal GPS verwenden, nehmen Sie sich eine Minute Zeit, um darüber nachzudenken, was diese Technologie möglich macht.