Kinderaufgaben:  des Rätsels Lösung 


  Lösung der Aufgabe  2.4.    Denkaufgabe

 

smilie


64 Schachfelder
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Ein Schachbrett: hat 8*8 Felder.
Es gibt 8*8=64 verschiedene Rechtecke und Quadrate zum Ausfüllen der Fläche

Formen der Rechtecke und Quadrate mit denen man das Schachfeld füllen kann:

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1*1
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1*2
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1*3
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  1*8
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+
++
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 ... ++++++++
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2*1 2*2 2*3   2*8
         
 ...  ...  ...    ...
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+
+
+
+
+
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++
++
++
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 ... ++++++++
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8*1 8*2 8*3   8*8


 

Das 1*1 Quadrat lässt sich in jeder Reihe 8 mal einsetzten.

Es gibt 8 Reihen, also gibt es

  8*8=64 Möglichkeiten.
Das 1*2 Rechteck lässt sich in jeder Reihe auf 7 verschiedene Arten einsetzten.

Es gibt 8 Reihen, also gibt es

  8*7=56 Möglichkeiten.

...

   
Das 1*8 Rechteck lässt sich in jeder Reihe auf 1 verschiedene Art einsetzten.

Es gibt 8 Reihen, also gibt es

  8*1=8 Möglichkeiten.
     
Das 2*1 Rechteck lässt sich in jeder Reihe auf 8 verschiedene Arten einsetzten.
Aber da es über 2 Reihen geht, lässt es sich nach unten nur jeweils 7 mal einsetzen.

Also gibt es

  7*8=56 Möglichkeiten.
Das 2*2 Quadrat lässt sich in jeder Reihe auf 7 verschiedene Arten einsetzten.
Aber da es über 2 Reihen geht, lässt es sich nach unten nur jeweils 7 mal einsetzen.

Also gibt es

  7*7=49 Möglichkeiten.

...

   
Das 8*1 Rechteck lässt sich in jeder Reihe auf 8 verschiedene Art einsetzten.
Aber da es über 8 Reihen geht, lässt es sich nach unten nur jeweils 1 mal einsetzen.

Also gibt es

  1*8=8 Möglichkeiten
Das 8*2 Rechteck lässt sich in jeder Reihe auf 7 verschiedene Art einsetzten.
Aber da es über 8 Reihen geht, lässt es sich nach unten nur jeweils 1 mal einsetzen.

Also gibt es

  1*7=7 Möglichkeiten

...

   
Das 8*8 Rechteck lässt sich nur auf 1 verschiedene Art einsetzten, da es über 8 Reihen geht.

Also gibt es

  1*1=1 Möglichkeit
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Die Anzahl der Möglichkeiten in Abhängigkeit von der Fläche
1.Zeile Länge mal Breite des Rechtecks/Quadrats
2.Zeile Anzahl der Möglichkeiten
als Produkt der vertikalen und der horizontalen Möglichkeiten.

1*1 1*2 1*3 1*4 1*5 1*6 1*7 1*8 Summe:
8*8 8*7 8*6 8*5 8*4 8*3 8*2 8*1 =8*(4*9)

2*1 2*2 2*3 2*4 2*5 2*6 2*7 2*8 Summe:
7*8 7*7 7*6 7*5 7*4 7*3 7*2 7*1 =7*(4*9)

3*1 3*2 3*3 3*4 3*5 3*6 3*7 3*8 Summe:
6*8 6*7 6*6 6*5 6*4 6*3 6*2 6*1 =6*(4*9)

4*1 4*2 4*3 4*4 4*5 4*6 4*7 4*8 Summe:
5*8 5*7 5*6 5*5 5*4 5*3 5*2 5*1 =5*(4*9)

5*1 5*2 5*3 5*4 5*5 5*6 5*7 5*8 Summe:
4*8 4*7 4*6 4*5 4*4 4*3 4*2 4*1 =4*(4*9)

6*1 6*2 6*3 6*4 6*5 6*6 6*7 6*8 Summe:
3*8 3*7 3*6 3*5 3*4 3*3 83*2 3*1 =3*(4*9)

7*1 7*2 7*3 7*4 7*5 7*6 7*7 7*8 Summe:
2*8 2*7 2*6 2*5 2*4 2*3 2*2 2*1 =2*(4*9)

8*1 8*2 8*3 8*4 8*5 8*6 8*7 8*8 Summe:
1*8 1*7 1*6 1*5 1*4 1*3 1*2 1*1 =1*(4*9)

Summe der Summen :
8*4*9 + 7*4*9 + 6*4*9 + 5*4*9 + 4*4*9 + 3*4*9 + 2*4*9 + 1*4*9
= (4 * 9) * ( 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)
= (4 * 9) * ( 4 * 9 ) = 1296

davon Quadrate:

1*1 2*2 3*3 4*4 5*5 6*6 7*7 8*8 Quadrate
8*8 7*7 6*6 5*5 4*4 3*3 2*2 1*1    
64 +49 +36 +25 +16 +9 +4 +1

=

204


Rechtecke = Gesamtanzahl minus Anzahl der Quadrate:

Anzahl Gesamt Quadrate Rechtecke
  1296 204 1092


Hinweis:
beim Bilden der Summen wurden folgende Gesetzmäßigkeiten angewandt:
 

  1. Ausklammern gleicher Faktoren:

    z.B: 8*8 + 8*7 + 8*6 + 8*5 + 8*4 + 8*3 + 8*2 + 8*1
    = 8* ( 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1)
     

  2. Summe von arithmetischen Reihen:
    Die Hälfte der Anzahl der Glieder
    mal die Summe aus dem ersten und dem letzten Glied

    z.B. 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 8/2 * (8+1)
    = 4 * 9

 

smilie



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smilie

 

 
 
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Das ist der ganze Jammer:
die Dummen sind so sicher und die Gescheiten so im Zweifel.
      Helmut Schmidt 
 
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© Karin S., März 2005