DENK m a l
+ Runde 2003  +
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Spra cheHu morZeits. Alphafor kids
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mit 20 Aufgaben aus verschiedenen Bereichen der Mathematik und unterschiedlich im Schwierigkeitsgrad, wobei in diesem Jahr garantiert die einfacheren Aufgaben überwiegen werden.
Besonders freue ich mich, dass ich an dieser Stelle auch Aufgaben einfügen kann, 
 
die mir zugeschickt worden sind.

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Zur Bewertung wurde ein nachvollziehbarer Lösungsweg gefordert ;
es reichte nicht, nur die Ergebnisse anzugeben!


  

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20./21. Aufgabe
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Aufgabe 20 vom 1.12.03 :
Es weihnachtet schon bald

Ein Weihnachtsbaumrätsel gegen die potentielle Langeweile.
Ich habe den Baum etwas unkonventionell mit 44 "Zahlenkerzen" geschmückt, und es soll ein möglichst schneller Weg von der "2" in der Mitte der untersten Reihe zum Stern(chen) an der Spitze gefunden werden.
Man bewegt sich dabei immer kerzengerade (also nicht zick-zack) entlang der Linien und zwar jeweils um genau so viele "Zahlenkerzen" weiter wie die jeweilige Ausgangszahl bestimmt.
Man könnte z.B. im ersten Zug zur 5-er Kerze nach rechts gehen, von da aus nach links oben zur 1-er Kerze, dann eine Kerze nach rechts zur 2, und dann nach links oben zur 6. Damit wäre man fast oben, aber eben nur fast.


                      *
                     / \
                    6 - 2
                   / \ / \
                  3 - 6 - 2
                 / \ / \ / \
                5 - 1 - 2 - 1
               / \ / \ / \ / \
              1 - 4 - 3 - 2 - 4
             / \ / \ / \ / \ / \
            1 - 3 - 6 - 5 - 3 - 2
           / \ / \ / \ / \ / \ / \
          4 - 5 - 5 - 2 - 5 - 4 - 3
         / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
        2 - 6 - 1 - 4 - 3 - 2 - 4 - 5
       / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
      5 - 3 - 4 - 3 -
2 - 4 - 5 - 4 - 3

 

eingesandt von Franjo - vielen Dank !

Lösung

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Zusatzaufgabe
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Aufgabe 21 vom 1.12.03 :
die neue Eisenbahn
Da sitze ich mit meiner neuen Errungenschaft, bestehend aus zwei Zügen und einer Menge Geleise, und überlege, wie die Streckenführung meiner neuen Modellbahn aussehen soll. Einfach drauf los zusammenstecken kann ja jeder. Als Mathematiker hat man da schon höhere Ansprüche. Das muss geplant werden. Aber wie?
Klar, mit dem CAD-Programm könnte es gehen. Der Hersteller hat ja ein paar Angaben über die Schienengeometrie gemacht.
Das Ganze hat ein Streckenraster von 360mm. Der innere Kreis hat also einen Radius von 360mm, gemessen bis zur Schienenmitte.
...
 
grafik1
Der Abstand zum (größeren) Parallelkreises beträgt 77,5mm (Mitte bis Mitte). Das Längenraster für gerade Strecken beträgt ebenfalls 360mm. Das gibt es allerdings nicht am Stück, sondern in zwei Teilen zu 188,3mm und 171,7mm. Aus dem längeren Stück und einem Kreisbogenstück des äußeren Kreises sind die Weichen zusammen gesetzt. Und die Kreuzungsweiche hat die gleiche Geometrie wie eine normale Weiche, nur eben mehrere überlagert.
Mit diesen Angaben hat man sich fix im CAD-Programm die Schienenstücke konstruiert und kann sie nun beliebig hin und her schieben und zusammen fügen.
Beliebig? Na ja, einfache Kreise und Ovale sind kein Problem. Und noch ein Übergang mit 4 Weichen dazu, dann ... sieht das schon mal gut aus.
grafik2
Aber wenn man an den Verbindungen mal mit dem Zoom so richtig genau hinguckt, dann ist es eben doch nicht exakt. Das ist ja eines Mathematikers unwürdig!
Die Frage ist nun, unter der Voraussetzung, dass lediglich der Innenkreisradius und das Längenraster mit 360mm exakt sind: wie lang sind die beiden geraden Schienenstücke wirklich? Welches ist der Parallelabstand? Und welchen Winkel hat das Bogenstück, das bei einer Weiche verwendet wird? 

eingesandt von Dietmar Viertel  - vielen Dank !

Lösung

  

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19. Aufgabe
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Aufgabe 19 vom 17.11.03 :
5 Würfel

2 Spieler würfeln abwechselnd darum, wer als erster seine Gewinnkombination erwürfelt.

Der erste Spieler soll mit seinen 5 Würfeln (alle 5 im Würfelbecher) die Summe 5 bis 13 erzielen.
(Also z.B. der Wurf 3+2+1+4+ 1 = 11 gewinnt)

Der zweite Spieler soll ebenfalls mit 5 Würfeln die "kleine" oder "große" Straße werfen.
("große" Straße bedeutet z.B. der Wurf: 1 2 3 4 5 oder 2 3 4 5 6, also 5 aufeinander folgende Zahlen unabhängig von der Lage der Würfel; "kleine" Straße bedeutet z.B. der Wurf: 1 2 3 4 1 oder 3 4 5 6 1, also genau 4 Zahlen in Reihe aber auch unabhängig von der Lage der Würfel)

[Wer von den Beiden hat die besseren Gewinnaussichten? ]
 

eingesandt von Lutz Locker  - vielen Dank !

Lösung

  

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18. Aufgabe
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Aufgabe 18 vom 3.11.03 :
10 kleine Zifferlein


ein kleines Zifferlein, hat nur das eine Ziel,
geteilt durch 1 zu werden, da gibt's Möglichkeiten viel.

ein zweites kleines Zifferlein schloss sich der ersten an,
die beiden dann durch 2 geteilt, geht auf! Es folgt sodann:

ein drittes kleines Zifferlein, möcht' mit den beiden gehn,
durch 3 ist die Zahl rechenbar, ihr werdet es schon seh'n.

'ne vierte Ziffer folgt sogleich, doch wem ist sie bekannt,
damit ein Viertel ohne Rest, wird ganzzahlig genannt.

Die fünfte Ziffer ist nicht schwer herauszukriegen schnell,
der Tipp sei heute euch genannt vom Rätselpartner Nell?

die sechste Ziffer heißt nicht 3, das glaubt mir unbesehn,
denn dann würde durch 6 geteilt 'ne Kommazahl entstehn.

die siebte Ziffer, kommt hervor, sie hat bis jetzt verweilt,
doch bleibt kein Rest, wenn man die Zahl jetzt durch die 7 teilt.

die achte Ziffer bildet jetzt 'ne neue große Zahl,
teilt sie durch 8! Damit das geht, trefft eine gute Wahl.

die neunte Ziffer - jetzt wird's schwer - auf unsrer Liste steht
sucht gut, damit der neunte Teil genauso schön aufgeht.

die zehnte Ziffer schließt den Kreis, auch sie bringt kein' Verdruss
geteilt durch 10 - wie heißt sie wohl? - nun gut, ich mach jetzt Schluss!

"Mensch, haste endlich die Lösung?"
"Klar die ,Superzahl' heißt 9876543210, weil die erste Ziffer 9 ohne Rest durch 1 teilbar ist, die beiden ersten Ziffern 98 durch 2 teilbar sind, die 987 durch 3, die 9876 durch 4, die 98765 durch 5, die 987654 durch 6, die 9876543 durch 7, die 98765432 durch 8, die 987654321 durch 9 und schließlich die 9876543210 durch 10 teilbar ist."
"Klasse; leider hast Du bei deiner Rechnung einen kleinen Fehler übersehen, soll ich noch mal vorsingen?"
"Bitte nicht, ich bring die Aufgabe ins Netz. Sollen doch die von Mathespaß ihre kleinen grauen Zellen mal wieder bemühen!"

Kommen wir nun zu den Fragen

Frage 1 (leicht):
Welchen Fehler hat die vorgeschlagene Zahl?

Frage 2 (schwer):
Wie muss die SUPERZAHL richtig heißen?
(Nachtrag 5.11.03: Die 10-stellige Superzahl muss aus 10 verschiedenen Ziffern bestehen)

(PS: beide Fragen müssen beantwortet werden)
 

eingesandt von Herbert Nell  - vielen Dank !

Lösung

 

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17. Aufgabe
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Aufgabe 17 vom 20.10.03 : lauter Kamele

Ein reicher Amerikaner macht Urlaub in der Wüste und trifft in einer Oase Ali mit seinen Kamelen. Die Kamele gefallen ihm so gut, dass er sie ihm abkaufen will. Er schlägt Ali vor: „Ich gebe dir für jedes Kamel so viele Dollar wie die Zahl der Kamele, die du mir verkaufst!“ Obwohl Ali nicht viel von Mathematik versteht, ahnt er, dass sich das Geschäft lohnen könnte, vor allem, wenn er mehr Kamele hätte. Er geht deshalb zu seinem Freund Achmed, der genau so viele Kamele hat wie er, und schlägt ihm vor, beide Herden zusammen an den Ami zu verkaufen. Achmed ist natürlich sofort einverstanden und am nächsten Tag bringen sie dem Amerikaner die Kamele. Dieser zahlt sofort in bar, und zwar mit 10-Dollar-Scheinen, den Rest (weniger als 10 Dollar) mit Münzen.
Am Abend teilen Ali und Achmed das Geld. Jeder erhält genau die Hälfte der Geldscheine, aber das Aufteilen der Münzen ist Achmed zu mühsam. Er sagt zu Ali: „Nimm du die Münzen und gib mir dafür dein Messer!“ Ali willigt ein und zufrieden geht jeder heim.

Und nun die ganz einfache Frage: Was ist Alis Messer wert ?
 

eingesandt von Heinz Mayr  - vielen Dank !

Lösung

 

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16. Aufgabe
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Aufgabe 16 vom 6.10.03 : Türöffner

In einer alten Burg wurde sich für die Schatzkammer eine besondere Sicherheitstechnik ausgedacht. Zwei Türen liegen unmittelbar neben einander und sind von Innen durch vier Riegel R1, R2, R3, R4 versperrt. Jeder Riegel versperrt eine der beiden Türen,
und man hat keine Anhaltspunkte über die genaue Position der Riegel.
Das könnte zum Beispiel so aussehen:


     Tür1           Tür2
    _________     _________
   |         |   |         |
   |         |   |         |
   |         | <=====R1=====>
  <=====R2=====> |         |
  <=====R3=====> |         |
   |         | <=====R4=====>
   |         |   |         |
___|_________|___|_________|____


Die Riegel werden durch drei Schalter 1, 2, 3 kontrolliert. Wird ein
Riegel aktiviert, so gleitet er von der einen Tür zur anderen und versperrt
die andere:

Schalter 1 aktiviert (zufällig)
R1 oder R2 oder R3 oder R4

Schalter 2 aktiviert (zufällig)
(R1 und R3) oder (R2 und R4)

Schalter 3 aktiviert (zufällig)
(R1 und R2) oder (R2 und R3) oder (R3 und R4) oder (R4 und R1)

Problem:
Finde eine möglichst kurze Folge von Knopf-Aktivierungen, die dich
auf jeden Fall (und unabhängig von der Anfangskonfiguration) in die Schatzkammer bringt (d.h. alle Riegel sind auf einer Seite).

eingesandt von Burkart - vielen Dank !

Lösung

 

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15. Aufgabe
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Aufgabe 15 vom 22.9.03 :
7 hoch 7777


Wie lauten die letzten 4 Ziffern von 77777 ("7 hoch 7777")?

eingesandt von Johann Moll - vielen Dank !

Lösung

 

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14. Aufgabe
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Aufgabe 14 vom 1.9.03 :
Trigonometrie


Ein Dreieck, dessen eine Seite durch den Mittelpunkt seines Aussenkreises geht, bildet ein (kleineres) rechtwinkliges Dreieck zwischen dem Mittelpunkt seines Innenkreises, dem Mittelpunkt seines Aussenkreises und einem seiner Ecken.

Bestimme die Winkel des großen Dreiecks!

Zusatzbemerkung:
wenn man eine bestimmte Seite des Dreiecks = 100 cm setzt (ich verrate aber nicht welche) ist
das Areal des "kleinen" rechtwinkligen Dreiecks genau 500 cm² .

eingesandt von Herbert Nell - vielen Dank !

Lösung

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Für die großen Denker war auch im Jahr 2003 eine Hall of FAME eingerichtet, 
bis am Jahresende

der~~~~~~~
* * * DENK-mal Superkopf * * *  
~~~~~~~~~~~~~~gekürt wurde ! 
 
Stünden der Geisteswissenschaft wie der Mathematik zwei oder drei wesentliche Gesetze zur Verfügung, dann könnte sie vorankommen. 
       G. Flaubert (1821 - 1880)

 

?     ?    ? ? ?    ?    ?
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Arbeitet und suchet, damit ihr findet und nicht in Nachbetung verfallet.
           Jakob Steiner (1796 - 1863) 
blättern
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© Karin S., Nov. 2003