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Spra cheHu morZeits. Alphafor kids
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mit Aufgaben aus verschiedenen Bereichen der Mathematik und unterschiedlich im Schwierigkeitsgrad, wobei in diesem Jahr garantiert die einfacheren Aufgaben überwiegen werden.
Besonders freue ich mich, dass ich an dieser Stelle auch Aufgaben einfügen kann,  
die mir zugeschickt worden sind.

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und das waren die vergangenen Aufgaben: (bitte keine Lösungen mehr einsenden!)  
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10. Aufgabe
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Aufgabe 10: Tour de France 
(weil ich keine Fußballaufgabe finden konnte ;-)

1. Woche:
Und wieder einmal startet die Tour de France auf ihre dreiwöchige strapaziöse Tour durch Frankreich. Unter den vielen Radrennfahrer fährt erstmals auch Pedro Pedalo mit. 
Der Prolog lief überraschend gut für ihn, und er fuhr ins mittlere Drittel des Feldes, nicht aber auf einem zweistelligen Platz. Am zweiten Tag fuhr er recht verhalten und verschlechterte sich konsequenterweise um 20 Plätze, blieb aber im mittleren Drittel, obwohl 14 Fahrer ihrer Weiterfahrt absagten. Am dritten Tag lief es dann besser, er konnte 12 Plätze wiedergutmachen und landete im mittleren Fünftes des Feldes; (weitere 3 Fahrer hatten an diesem Tag übrigens die Tour aufgegeben). Am Ende der ersten Woche verbesserte sich Pedro im Einzelzeitfahren noch einmal um 5 Ränge, und war so bereits im mittleren Siebtel des Klassements.

Die 2. Woche:
Die zweite Rennwoche verlief dann erfolgreicher, allerdings auch höchst kurios. 
Pedro Pedalo unternahm mit einer neunköpfigen Gruppe einen Ausreißversuch, der deshalb gelang, da es zu einem spektakulären Massensturz kam, in den das halbe Feld verwickelt war. Das Pech der einen, war die Gunst der Stunde für die anderen. Besonders Pedro Pedalo konnte von seinen Sprintqualitäten Gebrauch machen und diese 11. Etappe gewinnen. 27 Fahrer mussten sturzbedingt ihre Träume aufgeben, in Paris die Champs-Elysées zu erreichen; sie schieden verletzt aus. Pedro halbierte an diesem Tag seine (geradzahlige) Platzierung vom Ende der Vorwoche, und lag im mittleren Drittel des gesamten Starterfeldes. Einen Tag später wurde der Verursacher des Sturzes disqualifiziert. An Pedros Platzierung änderte sich nichts.

Die 3. Woche:
Das sollte zu Beginn der dritten Woche anders werden. Als ein Team alle seine neun Rennfahrer zurückzog, von denen 2/3 zu diesem Zeitpunkt in der Tourwertung hinter Pedro lagen und er sich einen Tag später bei der schweren Bergankunft in L'Alpe d'Huez drei Plätze im Gesamtklassement nach vorne schieben konnte, lag er erstmals im vorderen Drittel des Klassements. Das blieb auch so, als sieben hinter Pedro platzierte Rennfahrer einer nach dem anderen entkräftet aufgaben.
Hätte er jetzt noch das Kunststück fertig gebracht, sich bis zur Endankunft in Paris noch um 12 Plätze zu verbessern, wäre er sogar im ersten Viertel des Feldes gelandet. Als er aber einen Tag später hörte, dass weitere 4 (hinter ihm liegende) Fahrer wegen unerlaubtem Windschattenfahrens die vorzeitige Heimreise antreten durften, wurde ihm klar, dass eine Verbesserung um 12 Plätze auch nicht gereicht hätte.
Dennoch besaß er noch genug sportlichen Ehrgeiz um seinem Namen alle Ehre zu machen. 
In den letzten drei Tagen strampelte sich Pedro Pedalo nochmals um 4 Plätze nach vorne! 

Frage 1: Wie viele Teilnehmer gingen an den Start?
Frage 2: Wie viele Fahrer konnten das Rennen beenden?
Frage 3: Welchen Platz belegte Pedro noch dem Prolog?
Frage 3: Welchen Platz belegte Pedro Pedalo im Gesamtclassement?

Es müssen alle 4 Teilaufgaben korrekt beantwortet werden und ein Lösungsweg muss erkennbar sein.

Herzlichen Dank für  diese sportliche Aufgabe an Herbert Nell      

zur Lösung

 

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9. Aufgabe
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Aufgabe 9: Kasimir am Fluss ;-)

Unser unternehmungslustiger Kasimir kommt ans Ufer eines Flüsschens, das 10 Meter breit ist, und seine Fühler wittern, dass da drüben nicht nur eine Wiese voll Blumen mit köstlichem Nektar ist, sondern auch eine Horde Weibchen. 
Natürlich will er sofort hinüber. Aber wie? 
Schwimmen kann er nicht. Und wenn er könnte, würde da immer noch im Wasser die Forelle lauern.
Bleibt also nur Fliegen. 
Doch da er es nur halbherzig gelernt hat, sind seine Künste noch besch...eiden

  • Höhe gewinnen kann er nicht, muss also von einem erhöhten Punkt aus starten.
  • Wenn er flattert, kann er gerade Höhe und Geschwindigkeit halten. Aber das hält er kräftemäßig gerade mal eine Minute durch, dann muss er sich erst wieder mindestens eine Minute erholen, indem er nur die Flügel ausbreitet und segelt.
  •  Wenn er segelt, verliert er pro Minute einen Meter an Höhe, nimmt aber auch an Geschwindigkeit um 1 Meter/Minute zu.
  • Und Kurven kann er auch noch keine fliegen.
Zu seinem Glück steht einen Meter vom Ufer entfernt eine Säule mit 80cm Umfang, von der aus er starten kann.
  • Kasimir krabbelt also auf kürzestem Wege vom Ufer zur Säule. 
  • Die kann er natürlich nicht senkrecht hoch, das schafft er nicht. Vielmehr krabbelt er schräg hoch und gewinnt pro Umrundung 60cm an Höhe. 
    Wieder alles mit seiner üblichen Geschwindigkeit von 10cm/Minute
  • Wenn er hoch genug ist (Kasimir muss schon ein helles Köpfchen sein, dass er das alles ausrechnen kann), stößt er sich ab und segelt hinüber ans andere Ufer. 

Die Anfangsgeschwindigkeit durch das Abstoßen wollen wir in der Berechnung vernachlässigen, also mit 0 ansetzen.
Und natürlich sind auch beide Ufer gleich hoch, und so hoch, dass ihn die Forelle nicht erwischt, wenn er genau auf dem Ufer landet.
Fragen:

  1. Wie lange braucht Kasimir vom Abmarsch am diesseitigen Ufer bis zur Landung auf der anderen Seite des Flusses?
  2. Wie hoch muss er auf die Säule klettern?

    Da die Weibchen locken, will er natürlich möglichst schnell sein.
  3. Kann er es schneller schaffen? Wenn ja:
  4. Auf welche Weise?
  5. Wie lang braucht er dann?
  6. Wie hoch muss er dann auf die Säule klettern?
( Da die Strategien zu 4) je nach Ansatz etwas variieren können, gelten zu 4-6 alle Lösungen als richtig, die nicht mehr als 10% länger dauern, als die schnellste Lösung.)
Die Lösung muss ausreichend begründet werden 

Herzlichen Dank für  für diese Kasimir-Aufgabe an Peter Becker, dem Spender des Honigtöpfchens      

zur Lösung

 

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8. Aufgabe
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Aufgabe 8:
Kasimir und das Honiglabyrinth

Krabbelkäfer Kasimir hat von einem liebenswürdigen Mitdenker ein Honigtöpfchen geschenkt bekommen und Kasimir ist gerade auf dem Weg dahin.
Was Kasimir aber nicht wusste: Ein böser Bube hat das Honigtöpfchen in einem Labyrinth versteckt!
An jeder Verzweigung des Labyrinths überlässt es Kasimir dem Zufall, in welcher Richtung es weitergehen sollte. 
Ob er dabei je den Honig erreichen wird oder wieder am Ausgang des Labyrinths landet ohne den Honig gesehen und davon genascht zu haben?
 
kasi-labyrinth
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht Kasimir den Honig ?
(An den Verzweigungen geht Kasimir nicht rückwärts und die Wahrscheinlichkeit, in die eine oder andere Richtung weiter zu gehen ist jeweils 0,5. Kasimir kann sich nicht erinnern, ob er schon mal an einer Verzweigung war oder ob er einen Weg schon mal gegangen ist.)
Die Lösung muss ausreichend begründet werden (Tabelle, Formel, Programm etc.)

Herzlichen Dank für diese Aufgabe an Rolf Herrmannl    

zur Lösung

 

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7. Aufgabe
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Aufgabe 7: Die Wege des Turms


Bekanntlich bewegt sich ein Turm auf dem 8 x 8 - Schachbrett pro Zug entweder horizontal oder vertikal.

Ein Weg des Turms von einem Feld auf ein anderes sei die Folge aller Züge, die er dabei macht. Die zu überquerenden 'Zeilen' bzw. 'Spalten' des Brettes überquert er nur einmal! Es gibt also entweder eine oder maximal zwei Richtungen, in die der Turm sich bewegt. (Eine Zugfolge ist ein Weg, wenn es keine kürzere gibt, wobei wir unter ihrer Länge die Anzahl der durchlaufenen Felder bis zum Zielfeld verstehen).

Auf wie vielen Wegen kann sich der Turm - auf dem sonst leeren Schachbrett - von einem Eckfeld in das diagonal gegenüberliegende Eckfeld bewegen, also etwa von a1 nach h8?
Die Lösung muss ausreichend begründet werden (Tabelle, Formel, Programm etc.)

Herzlichen Dank für diese Aufgabe an Johann Moll     

zur Lösung

 

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6. Aufgabe
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Aufgabe 6: Primzahlen, ein kleiner Beweis 

Die 3 ist schon eine besondere Zahl! 
Zeige, dass sie die einzige Primzahl ist, die über sich eine Quadratzahl (Nachfolger) hat!

(Diesmal ist ein BEWEIS verlangt!)

Herzlichen Dank für diese Aufgabe an Herbert Nell    

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5. Aufgabe
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Aufgabe 5: Vierfarbenproblem (lässt sich auch auf Ostereier anwenden ;-)) 

Das Vierfarbenproblem besteht darin, eine in Teilflächen unterteilte Fläche so einzufärben, dass keine der Teilflächen mit einer anderen Teilfläche gleicher Farbe ein Stück Rand gemeinsam hat. (Man denke etwa an das Einfärben einer politischen Landkarte.)
Die Mathematiker haben herausgeknobelt, dass vier Farben für jede beliebige Unterteilung ausreichen! 

Abb.1
Abb. 1
Abb.2
Abb. 2
Die 20 Teilflächen im Kreis sollen dementsprechend mit den vier Farben Rot, Gelb, Grün und Blau eingefärbt werden, wobei einige Felder bereits eingefärbt sind.

Aufgaben ( für Abb. 1 und Abb. 2)
a) Gib jeweils eine mögliche Einfärbung an!
b) Wie viele verschiedene Möglichkeiten der Einfärbung gibt es jeweils?
c) Bei welcher/n Einfärbung(en) ist/sind jede der vier Farben in genau fünf Feldern vertreten?
(Die Lösung kann in Tabellenform angegeben werden, z.B. 1 ro, 2 ge, 3 gr usw.) 

Herzlichen Dank für diese Aufgabe an Rolf Herrmann    

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4. Aufgabe
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Aufgabe 4: Der Eskimo und das Schneemobil  

Die Puppe, welche strahlend und teuer (350Kronen) in der kleinen Auslage des Krämerladens stand, ging ihm nicht mehr aus dem Sinn. Das Bild seiner Tochter stand vor ihm, welche sich so sehr nach dieser Puppe sehnte. Sein Trachten und Tun war gefangen zwischen dem Autounfall und dem baldigen Osterfeste, das sein einziges und noch so kleines Kind mit gebrochenem Bein und noch anderen Blessuren im Krankenhaus verbringen musste, fern von ihm und seiner Frau. Zum ersten Mal tat es ihm leid, dass er nur ein einfacher Eskimo war und keiner der Fremden aus dem Süden, welche viel Geld für Flugzeuge und Puppen besaßen. Sein ganzer Besitz war ein kleines Raupenfahrzeug, welches ihm als Basis für seinen Broterwerb diente und auch auf winterlichen Schneeflächen sich als sehr zuverlässig erwiesen hatte. 

Kam ihm der Zufall zu Hilfe? 
Das moderne Geländefahrzeug der Forschungsstation hatte eine größere Panne und war mit den vorhandenen Ersatzteilen nicht zu reparieren. Die Aufzeichnungen aus dem 250km entfernten und unbemannten Beobachtungsturm mussten unverzüglich abgeholt, das Gerät musste kontrolliert und neues Papier eingelegt werden. 
2000 Kronen sollte er für die Fahrt in die Einsamkeit erhalten. Auf seinem  Raupenfahrzeug konnte er aber nur 120 Liter Benzin unterbringen, 40 Liter im Tank und 80 Liter in Kanistern. Damit kam er jedoch nicht zurück, denn sein Motor brauchte 40 Liter des je 5Kronen teuren Benzins für 100 km. 
Doch: 
Es musste eine Lösung geben. Und immer wieder marterte er sein ungeübtes Gehirn. 
 und wartet nun auf Hilfe aus dem Internet

Wie kann er den Weg einteilen um seinem Kind eine Freude machen zu können? Hinweis: Der Lösungsweg muss ersichtlich sein 

Herzlichen Dank für diese Aufgabe an Katja    

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3. Aufgabe
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Aufgabe 3: die letzten DM-Münzen 

4 Freundinnen saßen eines Nachmittags zusammen und entschlossen sich, ihre 4 Sparschweine zu schlachten, die ersparten DM-Münzen( 1Pfennig bis 5 Mark) in einen gemeinsamen Geldsack zu tun und auf der Bank in Euro zu wechseln. Dort erhielten sie genau einen Euro-Geldschein. Da sie sich anschließend aber nicht einig wurden, was sie mit dem Geld anfangen sollten, mussten die Euros wieder entsprechend der eingebrachten DM-Münzen aufgeteilt werden. 
Jedoch wussten sie nur noch bruchstückhaft, welche Münzen aus wessen Sparschwein kamen.
Aber einige Schlauköpfe können den 4 Freundinnen sicher weiterhelfen.
  • Ein Mädchen hatte keine Münzen mit einer '1' im aufgeprägten Wert, ein anderes hatte keine Münzen mit einer '2', das dritte keine Münzen mit einer '5' und das vierte keine Münzen mit einer '0' und auch keinen Glückspfennig. Alle anderen Werte wurden in den jeweiligen Sparschweinen entdeckt.
  • Insgesamt waren von jedem Wert mindestens 5 Münzen vorhanden.
  • Gleichwertige Münzen gab es in einem Sparschwein höchstens 5.
  • Die größte Anzahl an gleichen Münzen im Geldsack war 12.
  • Unterschiedliche Werte hatten im Geldsack auch unterschiedliche Stückzahlen.
  • Gleiche Werte hatten in den 4 Sparschweinen immer unterschiedliche Stückzahlen; sofern überhaupt vorhanden.
  • 3 Geldstücke von einem Wert gab es nur in Rita's Sparschwein, aber dann gleich dreimal.
  • Der kleinste und der größte Betrag eines Sparschweins ergaben zusammen mehr als 50DM.
  • Nur Elke hatte einen geraden Betrag.
  • Ute hatte 9 Münzen im Sparschwein.
  • Nur 1 Mädchen hatte die gleiche Anzahl kupfer- und messing-farbiger Münzen.
  • Olga hatte genauso viel silberne wie kupfer- und messing-farbige Münzen zusammen.

Wie hoch waren die DM-Beträge in den Sparschweinen ?
Welches Problem haben die Freundinnen jetzt bei der Aufteilung ?
Hinweis: Der Lösungsweg muss ersichtlich sein   

Herzlichen Dank für diese Aufgabe an Horst Reblitz     

zur Lösung
~~~~~~~1 Pfennig
2 Pfennig
5 Pfennig
10 Pfennig
50 Pfennig
1 Mark
2 Mark
5 Mark

 

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2. Aufgabe
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Aufgabe 2: GOLDSCHATZ 

Ein Abenteurer findet einen Goldschatz bestehend aus 10 Säcken, prall gefüllten mit Goldmünzen. Jede Goldmünze wiegt 10 g. Ein oder mehrere Säcke sind aber mit Imitationen gefüllt, wobei eine "falsche" Münze 9,9 g wiegt. Die echten Münzen sind von den falschen äußerlich nicht zu unterscheiden. 
Wie kann man unter einmaliger Verwendung einer digitalen Waage herausfinden, welche Säcke komplett mit echten und welche mit falschen Münzen gefüllt sind? 
(Beachte: Ein Sack enthält entweder nur Goldmünzen oder nur Imitationen.)
Die Lösung muss ausreichend begründet werden 

Herzlichen Dank für diese Aufgabe an Chris aus Marling    

zur Lösung

 

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1. Aufgabe
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eine weitere Kasimir Episode:  Kasimir und die Pyramide

von ROLF HERRMANN

Krabbelkäfer Kasimir stand an der Ecke am Fuße einer quadratischen Pyramide, deren acht Kanten alle mit 162 cm gleich lang waren.
In seinem Drang, die Welt von oben zu betrachten, versuchte Kasimir direkt auf der Kante hochzukrabbeln, aber das schaffte sein kleines Herz nicht. Er purzelte holterdipolter wieder nach unten. Und so versuchte er es schräg nach oben über die Seitenflächen, immer im gleichen Winkel. Und das gelang! 

Zwar nur mit 10 Zentimeter pro Minuter, aber nachdem er die erste Seitenfläche überquert hatte, war er auf der Kante vom zweiten unteren Eckpunkt der Pyramide bereits 54 cm ent-fernt. So krabbelte er munter weiter und irgendwann stand er oberhalb der Ecke, an der sein Marsch begonnen hatte. Wie freute er sich! Kasimir an der Pyramide
  1. Wie weit war er jetzt von seinem Startpunkt entfernt?
  2. Wie lang hat sein Marsch bisher gedauert ?

Aber noch war er nicht am Ziel und so krabbelte er in gleicher Weise weiter und erreichte schließlich die Spitze der Pyramide. Welch ein Blick!

  1. Wie lang war die gesamte Krabbelstrecke und wie lange hat sein Marsch nach oben gedauert?
  2. Aus welcher Höhe konnte er "die Welt" überblicken?
Es müssen alle 4 Teilaufgaben gelöst und ausreichend begründet werden 

Herzlichen Dank für diese Aufgabe an Rolf Herrmann   

zur Lösung

  

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0. Aufgabe
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Berechne die Grenzwerte der unten definierten Folgen (an) bis (en). 
Dabei bezeichnen alle großen Buchstaben A, B, ... usw. positive reelle Zahlen.

a-n
b-n
c-n
d-n
e-n


Schreibe, zur Erleichterung der Korrekteure, die herausgefundenen Ausdrücke für die Grenzwerte in einer Zeile nebeneinander

Aus "Humor in der Mathematik" von Friedrich Wille: zugeschickt von G.S- herzlichen Dank!    

LösungFR 0 HES   NEUES   JAHR  !

Was ich natürlich auch jetzt noch allen Besuchern, Knoblern und Experten für 2002 wünsche!


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Für die großen Denker war auch im Jahr 2003 eine Hall of FAME eingerichtet, 
bis am Jahresende

der~~~~~~~
* * * DENK-mal Superkopf * * *  
~~~~~~~~~~~~~~gekürt wurde ! 

 

Stünden der Geisteswissenschaft wie der Mathematik zwei oder drei wesentliche Gesetze zur Verfügung, dann könnte sie vorankommen. 
       G. Flaubert (1821 - 1880)

 
?     ?    ? ? ?    ?    ?
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Arbeitet und suchet, damit ihr findet und nicht in Nachbetung verfallet.
           Jakob Steiner (1796 - 1863) 
  
<^>
blättern
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© Karin S., Jan 2002