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+ 2001 - die Aufgaben 14 - 20 +
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Knobelrunde 2001 Teil 2 !

Die Aufgaben des 2. Halbjahres  2001

mit Aufgaben aus verschiedenen Bereichen der Mathematik und unterschiedlich im Schwierigkeitsgrad.  

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 Aufgabe  zum Jahreswechsel 

Berechne die Grenzwerte der unten definierten Folgen (an) bis (en). Dabei bezeichnen alle großen Buchstaben A, B, ... usw. positive reelle Zahlen.

a-n
b-n
c-n
d-n
e-n


Schreibe, zur Erleichterung der Korrekteure, die herausgefundenen Ausdrücke für die Grenzwerte in einer Zeile nebeneinander

Aus "Humor in der Mathematik" von Friedrich Wille: zugeschickt von G.S- herzlichen Dank!

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Die Lösung läuft außer Konkurrenz und ist mein Wunsch für alle zum Jahreswechsel

 

und das waren die Aufgaben des Jahres 2001: (bitte keine Lösungen mehr einsenden!)  

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ZUSATZ - Aufgabe  

Die versprochene Zusatzaufgabe für alle, die nach einer richtigen Matheaufgabe Sehnsucht hatten: (mit dieser Aufgabe kann sich noch ein fehlender smiley im Wettbewerb ausgleichen lasen)

Diese Aufgabe erhielt ich von Johann Moll- vielen Dank!

Drei Doppelhebel in Bewegung...
Jemand hat drei Pflöcke, drei Hebel der Länge x und drei weitere Hebel der Länge y. 
Alle haben an Ihren Enden Gelenke, durch die sie mit den Pflöcken bzw. untereinander verbunden werden.können. Die Pflöcke werden an drei Punkten, die paarweise den gleichen Abstand s haben, befestigt
Die ersten drei Hebel werden mit den Pflöcken verbunden, die zweiten drei Hebel mit den Enden der ersten drei Hebel und die freien Enden der zweiten drei Hebel werden untereinander verbunden. In dem so entstehenden Gelenkmechanismus ist der Verbindungspunkt D der 
Doppelhebel beweglich, soweit es die Hebellängen zulassen
Alle Positionen, die D einnehmen kann, bilden bei geeigneten s, x und y eine Fläche. 

skizze

  1. Man beschreibe diese Fläche und gebe für s = 10 Werte für x und y an, für die gilt: 
    (i) Jeder Punkt der Fläche ist auch Punkt des durch die drei Pflöcke bestimmten Dreiecks
    (ii) Der Flächeninhalt ist maximal

  2. Man berechne diesen Flächeninhalt.

  3. Man entscheide, ob die gefundene Lösung eindeutig 

    Anmerkung von Johann Moll: Die Idee zu dieser Aufgabe entnahm ich Moderne Mathematik (Hrsg. Gerd Faltings), Akad. Verl.1996
     Die Mathematik dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten von W. P. Thurston und J. R. Weeks. 

zur Lösung
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20. Aufgabe  

Der naschhafte Nikolaus

Nachdem der Nikolaus alle braven Kinder mit Süßigkeiten bedacht hatte, machte er sich auf den weiten Weg zurück in den Himmel mit einer frohen Botschaft für seine fleißigen Engelchen im Gepäck: "Freut Euch, es sind noch drei verschiedene Sorten im Sack übriggeblieben!" - 
"Wie viele?" wollten die Engelchen sofort wissen. Aber Nikolaus antwortete nur: "Nun, sagen wir es mal so: Wenn ich drei Pralinen aus dem Sack nehme, ist die Wahrscheinlichkeit von jeder Sorte eine zu ziehen genau 25%."
Bald darauf reute den Nikolaus seine "verräterische" Antwort, als ihn nämlich der Heißhunger überkam und er einige Pralinen aus dem Sack naschte. 
Dumm gelaufen - könnte man meinen - aber, war es Glück oder gar göttliches Geschick? Wie erstaunt war er, als er feststellte, dass sich auch nach seiner Naschaktion besagte  Wahrscheinlichkeit nicht verändert hatte.

Von einer Sorte aß er nur halb soviel wie von den Nußpralinen.
Marzipanpralinen wurden am stärksten dezimiert.

Wie viele Eierlikörpralinen konnten sich die Engelchen teilen?

zugeschickt von Herbert Nell - vielen Dank!

zur Lösung
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19. Aufgabe  

Schubladenprinzip:

  1. Wie immer man zehn Punkte in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge 3 cm platziert, es gibt immer 2 Punkte die nicht mehr als 1 cm voneinander entfernt sind.

  2. Es gibt eine Potenz von 3, die im Zehnersystem auf 0001 endet.

  3. Jede ungerade Zahl, die nicht auf 5 endet, hat ein Vielfaches, das im Zehnersystem nur aus Einsen besteht.

zugeschickt von Reinhold Moebs - vielen Dank!

PS: zur Bewertung müssen alle 3 Teilaufgaben bearbeitet  und  ausreichend begründet oder bewiesen werden.!    

zur Lösung
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18. Aufgabe  

Kasimir auf der Stange
An einer senkrechten Wand steht senkrecht eine zwei Meter lange Stange. Am unteren Ende der Stange sitzt Krabbelkäfer Kasimir: Einmal die Welt von oben betrachten, denkt er, und macht sich auf den Weg nach oben (Geschwindigkeit: 1 Meter/Minute).
Was Kasimir nicht weiß: Im selben Moment beginnt das untere Ende der Stange senkrecht zur Wand wegzugleiten (Geschwindigkeit: 1 Meter/Minute). Das obere Ende der Stange gleitet dabei die Wand herunter.
Kasimir stellt fest, dass er - immer noch an der Stange - ohne sein Zutun plötzlich wieder auf dem Boden landet. Aber: Er hat "die Welt" von oben gesehen!
  1. Aus welcher Höhe hat er denn nun "die Welt" gesehen?

  2. Wo befindet er sich am Ende seiner "Reise" ?

  3. Zeichne / skizziere die Bahn von Kasimir.
    Ach ja, ... und was hat das alles mit der Blüte zu tun ?

 

Kasimir an der Bluete

zugeschickt von Rolf Herrmann - vielen Dank!

PS: zur Bewertung müssen alle 3 Teilaufgaben bearbeitet werden und  es wird ein nachvollziehbarer Lösungsweg gefordert - es reicht nicht, nur die Ergebnisse anzugeben!    

zur Lösung
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17. Aufgabe  

Piraten teilen Goldstücke

456 Piraten haben 100 Goldstücke erbeutet und wollen den Schatz teilen. Sie sind demokratisch, aber auf Piratenart, für die Verteilung der Beute gilt folgendes Verfahren:

Der wildeste Pirat schlägt einen Verteilungsschlüssel vor, über diesen Vorschlag wird abgestimmt. Der Vorschlagende ist stimmberechtigt. Wenn mindestens die Hälfte aller Piraten dafür stimmen, ist der Vorschlag angenommen und wird in die Tat umgesetzt. Wenn nicht, wird der Vorschlagende über Bord geworfen und das Verfahren mit dem nächstwilderen Piraten wiederholt.

Für jeden Piraten ist es eine besondere Freude, einen seiner Kameraden über Bord zu werfen, aber wenn er die Wahl hat, sind ihm kalte, harte Goldstücke doch lieber. Und natürlich will niemand selber über Bord gehen. Alle Piraten denken rational und wissen, dass alle so denken. Außerdem sind keine zwei Piraten gleich wild, es gibt eine genau definierte Hackordnung, und alle kennen sie. Die Goldstücke sind unteilbar,
Nebenabreden gibt es nicht, weil keiner dem anderen traut. Jeder Pirat ist sich selbst der nächste.

Nun die 3 Fragen:

  1. Welchen Vorschlag sollte der wildeste Pirat machen, um möglichst viel Gold zu ergattern 
    (und am Leben zu bleiben)? 

  2. Wie könnte eine mögliche Verteilung der Goldstücke aussehen? 

  3. Wie viele Möglichkeiten verschiedener Verteilungen der Goldstücke gibt es?

zugeschickt von Roland Koppenberger - vielen Dank!

PS: zur Bewertung müssen alle 3 Teilaufgaben bearbeitet werden und  es wird ein nachvollziehbarer Lösungsweg gefordert - es reicht nicht, nur die Ergebnisse anzugeben!   

zur Lösung
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16. Aufgabe  

Kreisrunde Wiese 

. Ein Bauer in der Pfalz hat eine kreisrunde Wiese mit 100 m Durchmesser

Er hat zwei Söhne, denen er die Wiese vererben will. Der eine Sohn hat
ein Schaf, das er auf der Wiese grasen lassen will. Damit es genau die
halbe Fläche der Wiese abgrast, muss er es mit einer Leine an einem
Pflock befestigen, der auf dem Rand der Wiese steht.

Und nun die Frage an Euch: 
Wie lange muss die Leine sein, damit das Schaf GENAU die halbe Fläche der
kreisrunden Wiese abgrast! Wichtig: der Pflock, an dem das Tier angebunden
ist, steht genau auf dem Rand der Wiese!

Viel Spaß beim Knobeln vom Harald aus der Pfalz! 

zugeschickt von Harald Giessen, 
(ähnliche Aufgabe auch von Sven Rüberg und Frank Stutzenberger erhalten)  vielen Dank!

PS: zur Bewertung wird ein nachvollziehbarer Lösungsweg gefordert - es reicht nicht, nur die Ergebnisse anzugeben!    

zur Lösung
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15. Aufgabe  

Zwei Motorräder und eine Kreuzung 

In einer großen Ebene verlaufen zwei schnurgerade Straßen, die sich im rechten Winkel kreuzen. Auf jeder Straße fährt ein Motorradfahrer auf die Kreuzung zu. Beide Motorräder fahren mit gleicher und konstanter Geschwindigkeit. Als sich beide Fahrer zum ersten Mal erblicken, sind sie noch 1000 bzw. 1200 m von der Kreuzung entfernt. Sie überqueren mit unverminderter Geschwindigkeit nacheinander die Kreuzung. Der die Kreuzung später erreichende Fahrer schaut den anderen vom ersten Sichtkontakt an unverwandt an bis er selbst die Kreuzung erreicht. 

Denkt man sich während der gesamten Zeit von diesem Fahrer zu dem ersteren eine Linie gezogen, so überstreicht diese Linie eine Fläche, die es zu beschreiben und deren Inhalt es zu berechnen gilt. 

zugeschickt von Johann Moll - vielen Dank!

PS: zur Bewertung wird ein nachvollziehbarer Lösungsweg gefordert - es reicht nicht, nur die Ergebnisse anzugeben!    

 

zur Lösung
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14. Aufgabe  

Krabbelkäfer 2

Kasimir auf der Feder 

Am Boden ist eine Spiralfeder mit 20 Windungen befestigt. Sie hat einen Durchmesser von 10 cm und ist 30 cm hoch.
Am unteren Ende der Stange sitzt Krabbelkäfer Kasimir: In seinem Drang die Welt von oben zu betrachten, macht er sich auf den mühsamen Weg nach oben (Geschwindigkeit 10 Zentimeter pro Minute), Windung um Windung..
Was Kasimir nicht weiß: Am oberen Ende der Feder sitzt ein böser Bube, der den Käfer ärgern will. Gaaanz langsam (1 cm pro Minute) zieht er die Feder nach oben.

Ob Kasimir das obere Ende je erreichen wird ?
Und wenn ja, in welcher Höhe?

(Und für die Düpfles-Schisser: Narürlich hat der Junge genügend Ausdauer und lange Arme, notfalls steht daneben - rein zufällig - eine Leiter. Der Käfer hat eine ausreichende Kondition, auch wenn es länger dauert und steiler wird. Und die Feder ist super-elastisch.)

zugeschickt von Rolf Herrmann - vielen Dank!   

zur Lösung
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  zur Bewertung wurde ein nachvollziehbarer Lösungsweg gefordert - es reichte nicht, nur die Ergebnisse anzugeben!
 

 

Besonders freue ich mich, wenn ich an dieser Stelle auch Aufgaben einfügen kann,  
die mir zugeschickt worden sind.

Für die großen Denker warauch im Jahr 2001 eine Hall of Fame eingerichtet,

bis am Jahresende

der  
  * * * D E N K mal   S U P E R K O P F   * * *  


gekürt wurde!

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Stünden der Geisteswissenschaft wie der Mathematik zwei oder drei wesentliche Gesetze zur Verfügung, dann könnte sie vorankommen. 
       G. Flaubert (1821 - 1880)

 
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Arbeitet und suchet, damit ihr findet und nicht in Nachbetung verfallet.
           Jakob Steiner (1796 - 1863) 
blättern
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© Karin S., Okt. 2001.