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+ des Rätsels Lösung +

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Lösungen der DENKmal-Aufgaben des Jahres 2000

 

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Lösung der 19. Aufgabe   vom 20.11.2000

Vorbemerkungen:

von Gesualdo und Lex Bedijs

Es kann passieren, dass durchs Verknoten ein geschlossenes Band entsteht, dieses aber in sich verschlungen ist, so dass es sich nicht zu einem Ring auseinanderziehen lässt. Dies ist davon abhängig, wo (in Bezug auf die anderen Knoten) die Knoten geknüpft werden. Ich denke, dass dieser Effekt vernachlässigt werden soll und ein "geschlossenes Band" hier als Ring (vielleicht besser als Hamilton-Kreis) betrachtet werden sollte.

Ansatz:
Lässt man zunächst die unteren Enden unverknotet und knotet nur die oberen Enden zusammen, so stellt man fest, dass verschiedene Arten oben zu knoten topologisch gesehen äquivalent sind:
Bei ursprünglich 2n Bänder entstehen n lange U-förmige Bänder. Es wird also von einer festen oberen Verknotung ausgegangen und nur noch der untere Teil betrachtet.
Symmetrien werden ebenfalls weggelassen (1--2 ist identisch mit 2--1).

Die Wahrscheinlichkeit ist definiert als Anzahl der günstigen Fälle (G) im Verhältnis zur Anzahl der möglichen Fälle (M).

 
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Lösung von Christian Ege

Auch er betrachte nur die untere Seite der einzelnen Fäden.

Für n = 2 ist der Fall trivial, es lässt sich nur ein Ring bilden.
Die Wahrscheinlichkeit liegt bei 100 %

1   2   
 
  -     
 / \    
|   |  
|   |  
|   | 
 \_/
 

Für n = 4 seien die oberen Enden wie in der Skizze verknotet, also Faden 1 mit Faden 2 und Faden 3 mit Faden 4.

1   2   3   4  
 
  -       -      
 / \     / \   
|   |   |   | 
|   |   |   | 
|   |   |   | 
 
 
Es lassen sich nun 3 mögliche Verknüpfungen der unteren Enden finden, nämlich:
1. Faden 1 mit Faden 2 und Faden 3 mit Faden 4 (1-2, 3-4) 2. Faden 1 mit Faden 3 und Faden 2 mit Faden 4 (1-3, 2-4) 3. Faden 1 mit Faden 4 und Faden 2 mit Faden 3 (1-4, 2-3)
Davon führen die Fälle 2 und 3 zu einer vollständigen Schlaufe. Fall 1 führt zu zwei einzelnen Schlaufen.
Die Wahrscheinlichkeit für n = 4 beträgt somit
P = 2/3 = 0,66 = 66 %.
Sei n = 6
 
1   2   3   4   5   6
 
  -       -       -  
 / \     / \     / \
|   |   |   |   |   |
|   |   |   |   |   |
|   |   |   |   |   |
 
 
Für den Faden 1 gibt es nun (n-1) = 5 Möglichkeiten, ihn mit einem anderen Faden zu verbinden. Für den Fall, dass man ihn mit Faden 2 verbindet, hat man sofort eine Schlaufe erzeugt. Es verbleiben also 4 Möglichkeiten, ihn mit einem verbleibenden "4-Faden-Element" (n=4) zu verbinden.

Für den Fall n = 4 ergab sich bereits eine Wahrscheinlichkeit von 2/3, einen geschlossenen Ring zu erhalten.

Demnach ist die Wahrscheinlichkeit für n = 6:

 P = 4/5 * 2/3 = 8/15 
Diese Betrachtung lässt sich nun für beliebige gerade n erweitern:

Für n = 8 erhält man 7 mögliche Verbindungen des Fadens 1, wovon eine sofort zu einer Schlaufe führt und die 6 übrigen sozusagen einen Anschluss an ein "6-Faden-Element" bilden.

Somit ergibt sich hier die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu

P = 6/7 * 8/15 = 6/7 * 4/5 * 2/3 = 48/105
 
Allgemein für beliebige gerade n gilt somit:
P = (n-2)/(n-1) * (n-4)/n-3) * (n-6)/(n-5) ... * 1 
 

 
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Herbert Nell und Lex Bedijs fanden 2 verschiedene Formeln zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten p:

die Wahrscheinlichkeit p für n Schnurstücke beträgt:

Formel 1 oder Formel 2

 
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Zusatzbemerkungen von Rolf Herrmann und Roland Koppenberger, der auch gleich noch eine kleine Zusatzaufgabe formullierte: 

übrigens gibt es zu dem Beispiel einen historischen Hintergrund:
In Russland wurde der folgende Brauch gepflegt: Ein Mädchen verknotet paarweise jeweils zwei Spitzen bzw. zwei Enden von sechs Grashalmen, die eine andere Person mit der Hand umschließt (derart, dass die Spitzen in eine Richtung, die Enden in die entgegengesetzte Richtung zeigen). Werden auf diese Weise die Halme zu einem Kreis verbunden, heiratet das Mädchen im folgenden Jahr (so die mit dem Brauch einhergehende Vorhersage).

Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass
in drei aufeinanderfolgenden Jahren es dem Mädchen nicht gelingt, einen Kreis zu schließen?

 
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zum Schluss noch ein nicht ganz ernst gemeinter Hinweis von Herbert Nell

Im übrigen steckt mal wieder eine tolle Unwägbarkeit im Detail:

Paul hält zwar die Seile fest, aber Paula verknotet sie. Das bedeutet, dass die feminine Intuition so starken Einfluss auf das Ergebnis haben wird, dass es wahrscheinlich nicht zu berechnen ist.
So habe ich in einem empirischen Feldversuch meine Frau zehn Probleme mit 6 Seilen (zeichnerisch) verknüpfen lassen und sah meine Behauptung empirisch bestätigt.

Ergebnis: 9 Kreise und nur einmal drei kleine Kreise q.e.d.

 
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Auswertung:

eingegangene Lösungen richtige Lösungen falsche Lösungen
27 25 2
BemerkungenAuch wenn die Aufgabe nach Stochastik aussah, war es doch weitgend die Kombinatorik, die ans Ziel brachte. Wer die Knoten geknüpft und eingeschickt hat, war auch fast immer erfolgreich. 

 

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Das ist der ganze Jammer:
die Dummen sind so sicher und die Gescheiten so im Zweifel.
      Helmut Schmidt 
  
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© Karin S., Dez. 2000