DENK m a l
+ des Rätsels Lösung +

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Lösungen der DENKmal-Aufgaben des Jahres 2000

 

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Lösung der 15. Aufgabe   vom 1.9.2000

Vorbemerkung:

 
bei dieser Aufgabe galt es 2 Teile zu bewältigen. Zuerst einmal musste herausgefunden werden, welche Ringsumme gesucht ist und anschließend mit welchen Zahlen die Ringe belegt sind.

 
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von Chris stammen die Grundgedanken zu dieser Aufgabe:

 
a) Die Summe auf den Ringen muss eine gerade Zahl n ergeben, 
   da die Summe m der verwendeten (natürlichen) Zahlen 
   m1, m2, ..., m14 ganzzahlig ist:
   m = m1 + m2 + ... + m14 = n*5/2
b) Der kleinstmögliche Summenwert aller verwendeten Zahlen 
   beträgt bei Verwendung der Zahlen 1, 2, ..., 14 genau 42.
c) Die Summe 42 (Verwendung der Zahlen 1, 2, ..., 14) 
   kann nicht erreicht werden:
   Bezeichne X  = X' + X".
     (1) D + F  = 42
         E + G  = 42
     (2) F + G <= 50 = 11+12+13+14
     (3) D + E >= 34
            somit auf Ring mit 8 Zahlen 
     A + B = m1 + m2 + m3 + m4 <= 8 mit m1, m2, m3, m4
   voneinander verschieden unmöglich
   (kleinster Wert: m1 + m2 + m3 + m4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10!)
d) Somit ist 44 das bestmögliche (kleinstmögliche) Ergebnis.
e) Die Werte der Zahlen X' und X" 
   können vertauscht werden (Symmetrie).

 
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Claudia Scholz: und viele andere haben die Ringsummen als Formeln aufgefasst und die Anzahl der Unbekannten somit reduziert.


Nachdem x' und x" immer zusammen auf einem 
Ring liegen setze ich zur Vereinfachung
x'+x"=x 
Damit ergeben sich folgende Ringsummen: 

R1=D+F 
R2=D+B+A+E 
R3=G+E 
R4=C+F+B 
R5=C+G+A 

(R1=R2=R3=R4=R5)

daraus ergibt sich 
D=C+B     (vgl. R1 und R4) 
E=C+A     (vgl. R3 und R5) 

F=B+A+E   (vgl. R1 und R2) 
G=D+B+A   (vgl R3 und R2) 

A, B und C sind voneinander unabhängig, 
um eine möglichst kleine Ringsumme zu erhalten,
werden für A', A'', B', ..... möglichst 
kleine Zahlen (1 - 6) verwendet.  
A, B und C am kleinsten zu wählen macht Sinn, 
da sich D, E, F, G durch Addition aus ihnen ergeben. 
 
A=3   (A'=1, A"=2) 
B=7   (B'=3, B"=4) 
C=11  (C'=5, C"=6) 
D=18 
E=14 
F=24 
G=28 
Dies ergibt eine Ringsumme R=42 =R1=R2=R3=R3=R5 
Leider lassen sich für E', E"... 
hier keine verschiedenen Zahlen mehr finden. 

Also eins größer (1-5, 7): 
A=3   (A'=1,  A"=2) 
B=7   (B'=3,  B"=4) 
C=12  (C'=5,  C"=7) 
D=19  (D'=8,  D"=11)  
E=15  (E'=6,  E"=9) 
F=25  (F'=10, F"=15) 
G=29  (G'=12, G"=17) 

Dies ergibt eine Ringsumme R=44.

 
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Lex Bedijs hat nicht nur eine mögliche Lösung angegeben, sondern eine Übersicht von allen Lösungen erstellt:

Die kleinste mögliche Summe ist S = 44.

Nachfolgend eine Zusammenstellung aller 9 Lösungen mit 56 Varianten für S = 44 ohne Berücksichtigung von Symmetrien.

als Übersicht im txt-Format oder als als Excel-Tabellen


Für K < 60 gibt es übrigens insgesamt 733 Lösungen mit 999984 Varianten.

 
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Henrik Holke und einige weitere Mitstreiter begannen mit der Null, als der kleinsten natürlichen Zahl. (ich möchte hier aber keinen fachwissenschaftlichen Streit lostreten, ob die Null eine natürliche Zahl ist)


Sei x := x' + x'' (für x = a,b,c,d,e,f,g)

blau/ gelb:     d = b + c       (1)
gelb/grün:      b + f = a + g   (2)
grün/rot:       a + c = e       (3)
rot/schwarz:    g = a + b + d   (4)
schwarz/blau:   f = a + b + e   (5)

a,b,c,d,e,f,g paarweise verschieden, natürlich.
Z = d + f -> min!   (6)

Einsetzen von (4),(5) in (6),(2):
d = b + c       (1b)
b + e = a + d   (2b)
a + c = e       (3b)
Z = a + b + d + e -> min!   (6b)

Einsetzen von (1b),(3b) in (2b),(6b):
b + a + c = a + b + c   (2c)
Z = 2a + 2b + 2c -> min!   (6c)

Ergibt:
Z = 2(a + b + c)  -> min!   (6d)
d := b + c      (1b)    --> b,c != 0
e := a + c      (3b)    --> a,c != 0
f := 2a + b + c (3b in 5)
g := a + 2b + c (1b in 4)

Da alle 14 natürlichen Zahlen (x', x'') verschieden sein sollen,
ist ihre Summe mindestens 91 (= Summe(i, i=0,...,13)).
Betrachtet man die Summe aller 5 Ringsummen, ergibt sich
(da jede Zahl in 2 Ringen mitgezählt wird):

5 * Z >= 91 * 2
-> Z >= 38      (7)
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Für diese minimale Ringsumme gibt es schon eine Lösung
von (1)-(6) mit verschiedenen Zahlen x', x'':

a = 1
b = 5
c = 13
d = 18
e = 14
f = 20
g = 24

Die paarweise verschiedenen x', x'' lauten:

a'  = 0   a'' = 1
b'  = 2   b'' = 3
c'  = 6   c'' = 7
d'  = 4   d'' = 14
e'  = 5   e'' = 9
f'  = 8   f'' = 12
g'  = 11  g'' = 13

 
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Ich wurde von verschiedenen Knobelmitstreitern gebeten, Rolf Herrmann einen besonderen Dank für diese Aufgabe auszudrücken; selten hat eine Aufgabe so gut gepasst, wie diese.

Auswertung:

eingegangene Lösungen richtige Lösungen falsche Lösungen
29 27 2
Bemerkungeneine Knobelaufgabe, die mit der richtigen Idee gar nicht so viel Aufwand benötigte, wie es auf den ersten Blick schien ;-) 

 

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Das ist der ganze Jammer:
die Dummen sind so sicher und die Gescheiten so im Zweifel.
      Helmut Schmidt 
  
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© Karin S., Sept.2000