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Aufgabe zum Jahreswechsel  
Mathematiker suchen gerne Beziehungen in Zahlen, ganz besonders in Jahreszahlen.
So kann man auch mit der Jahreszahl 1999 einiges anfangen und kann sie so mit mathematischen Zeichen verbinden, dass sich als Ergebnis natürlichen Zahlen ergeben.

Als Rechenoperationen stehen die 4 Grundrechenarten (Addition +, Subtraktion  - , Multiplikation *, Division /  ) sowie das Radizieren (z.B. sqrt(9) ) bzw. Potenzieren, soweit dazu keine weiteren Zahlen benötigt werden, zur Verfügung.
Die Reihenfolge der 4 Zahlen darf nicht verändert werden; es dürfen keine Zahlen hinzugefügt oder weggelassen werden, aber die vorhandenen Zahlen dürfen "aneinandergehangen" werden wie z.B. bei 19 oder 99.
Auch Fakultät ( ! ) und Dezimalschreibweise (  .1 bzw.  .9) sind gestattet.
(Bei weiteren Lösungen bitte auf diese Vorgaben beschränken ;-))

Die ersten 4 Zahlen kann man zB. so darstellen:

 (1 * 9 - 9) * 9         = 0
 (1 + 9 - 9 )9           = 1
 (1 * 9 + 9) / 9         = 2
  1 * 9 - sqrt(9) - sqrt(9)        = 3
Ein herzliches Dankeschön an alle, die sich bisher beteiligt haben.
Es hat sich inzwischen schon eine beachtliche Anzahl   (siehe hier)  von Lösungen angesammelt.
Trotzdem ist jede weitere Lösung     höchst willkommen, denn bei 100 ist lange noch nicht Schluß!!!

Thomas Keller hat es geschafft, innerhalb von 3 Tagen alle Zahlen bis zur 91 nur aus der Jahreszahl 1999 zusammenzustellen - große Anerkennung !!!
[Hinweis: Die Signumfunktion sign(x) ={1 für x > 0 ; 0 für x = 0 ; - 1 für x < 0}, für jede reelle Zahl  (bitte nicht in weiteren Berechnungen benutzen )]

Von "digger" kamen 3 Lösungen für 93, 96, 99 - hierfür meinen Dank!

Die Lücke bei 68 ist geschlossen, dabei wurde zwar etwas "gezaubert"
(periodische Brüche sind eigentlich nicht Grundbestandteil dieser Art Aufgaben, aber ich hatte in den Vorgaben keine Einschränkungen gemacht)

Arno hat es ausgenutzt und 68 wirklich trickreich mit Hilfe eines periodischen Bruches zusammengestellt (mir gefällt diese Variante ;-)); er hat auch die Werte für 92 bis 100 geliefert - Dankeschön!
Auch Ueli Rutishauser hat mit "Trick 17" aufgewartet, um 68 zu erhalten - hat kurzerhand die Funktion : pow( ) für die 2-Potenz verwendet ;-) - auch wenn das mathematisch nicht mehr ganz legal ist, trotzdem meinen Dank;
Von Joerg Thomas kamen weitere Lösungen für 19, 80 - hierfür meinen Dank!


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Lösung der Aufgabe zum Jahreswechsel

Tabelle der gefundenen Lösungen:
    
    
    
   4 =  1 + 9 -  9 + sqrt(9)
   5 =  (-1)9  + sqrt(9) + sqrt(9)
   6 = (1 * 9)/ sqrt(9) + sqrt(9)
   7 =  1 + 9 / sqrt(9) + sqrt(9)
   8 = -1 + 9 +  9 -  9 
   9 =  1 * 9 +  9 -  9 
  10 =  1 + 9 +  9 -  9 
  51 =  1 * sqrt(9)! *  9 - sqrt(9)
  52 =  1 + sqrt(9)! *  9 - sqrt(9)
  53 = -1 + sqrt(9)! * sqrt(9) * sqrt(9)
  54 =  1 * sqrt(9)! * sqrt(9) * sqrt(9)
  55 =  1 + sqrt(9)! * sqrt(9) * sqrt(9)
  56 = -1 + sqrt(9)! *  9 + sqrt(9)
  57 =  1 * sqrt(9)! *  9 + sqrt(9)
  58 =  1 + sqrt(9)! *  9 + sqrt(9)
  59 = -1 + sqrt(9)! *  9 + sqrt(9)!
  60 =  1 * sqrt(9)! *  9 + (sqrt(9))!
 
  11 =  (-1)9   +  sqrt(9) +  9  
  12 =  1 * sqrt(9) +  sqrt(9) * sqrt(9)    
  13 =  1 +  9 +   9 / sqrt(9)    
  14 = -1 +  9 +  sqrt(9) + sqrt(9)
  15 =  1 *  9 +  sqrt(9) + sqrt(9)
  16 =  1 +  9 +  sqrt(9) + sqrt(9)
  17 =  (-1)9   +   9 +  9 
  18 =  1 *  9 +  sqrt(9) * sqrt(9)
  19 =  1 +  9 +  sqrt(9) * sqrt(9)
  19 =  19 * 9 / 9  
  20 = -1 +  9 +   9 + sqrt(9)
  61 =  1 + sqrt(9)! * 9 + sqrt(9)!  
  62 = -1 + sqrt(9)! * 9 + 9
  63 =  1 * sqrt(9)! * 9 + 9  
  64 =  1 + sqrt(9)! * 9 + 9
  65 =  1 + (sqrt(9)! / sqrt(9))(sqrt(9)!)
 [65 = (1 + sqrt(9))sqrt(9) + sign(9) ]
  66 = (1 + sqrt(9))! * sqrt(9) - sqrt(9)!
  67 = (1 + sqrt(9))sqrt(9)  + sqrt(9)  
 [68 = .1P * (sqrt(9)!)! - sqrt(9) - 9]
 [68 = -1 - sqrt(9) - 9 + pow(9)]
  69 = (1 + sqrt(9))! * sqrt(9) - sqrt(9)
  70 = (1 + sqrt(9))sqrt(9)  + sqrt(9)!  
  21 =  1 *  9 +   9 + sqrt(9)
  22 =  1 +  9 +   9 + sqrt(9)
  23 = -1 +  9 *  sqrt(9) - sqrt(9)
  24 =  1 *  9 *  sqrt(9) - sqrt(9)
  25 =  1 +  9 *  sqrt(9) - sqrt(9)
  26 =  (-1)9   +  sqrt(9) *  9 
  27 =  1 * sqrt(9) *  sqrt(9) * sqrt(9)
  28 =  1 + sqrt(9) *  sqrt(9) * sqrt(9)
  29 = -1 + sqrt(9) *   9 + sqrt(9)
  30 =  1 * sqrt(9) *   9 + sqrt(9)
  71 = -1 + 9 * 9 - 9  
  72 =  1 * 9 * 9 - 9  
  73 =  1 + 9 * 9 - 9  
  74 = -1 + 9 * 9 - sqrt(9)!
  75 =  1 * 9 * 9 - sqrt(9)!
  76 =  1 + 9 * 9 - sqrt(9)!
  77 = -1 + 9 * 9 - sqrt(9)
  78 =  1 * 9 * 9 - sqrt(9)
  79 =  1 + 9 * 9 - sqrt(9)
  80 = -19 + 99  
  80 = -1 +  9 * sqrt(9) * sqrt(9)
 [80 = 1+(sqrt(9)!)!/9+sign(-9)]
  31 =  1 +  sqrt(9) *  9 + sqrt(9)
  32 = -1 +  sqrt(9)sqrt(9)    + sqrt(9)!  
  33 =  1 *  sqrt(9)sqrt(9)    + sqrt(9)!  
  34 =  1 +  sqrt(9)sqrt(9)    + sqrt(9)!   
  35 = -1 +  sqrt(9)sqrt(9)    +  9  
  36 =  1 *  sqrt(9)sqrt(9)    +  9  
  37 =  1 +  sqrt(9)sqrt(9)    +  9  
  38 = -1 +  sqrt(9)!* sqrt(9)!+ sqrt(9)
  39 =  1 *  sqrt(9)!* sqrt(9)!+ sqrt(9)
  40 =  1 +  sqrt(9)!* sqrt(9)!+ sqrt(9)
  81 =  1 * 9 * sqrt(9) * sqrt(9)
  82 =  1 + 9 * sqrt(9) * sqrt(9)
  83 = -1 + 9 * 9 + sqrt(9)
  84 =  1 * 9 * 9 + sqrt(9)
  85 =  1 + 9 * 9 + sqrt(9)
  86 = -1 + 9 * 9 + sqrt(9)!
  87 =  1 * 9 * 9 + sqrt(9)!
  88 =  1 + 9 * 9 + sqrt(9)!
  89 = -1 + 9 * 9 + 9  
  90 =  1 * 9 * 9 + 9  
  41 = -1 + sqrt(9)! * sqrt(9)! + sqrt(9)! 
  42 = (1 + sqrt(9))!+  9  +  9 
  43 =  1 + sqrt(9)! * sqrt(9)! + sqrt(9)! 
  44 = -1 + sqrt(9)! * sqrt(9)! +  9 
  45 =  1 * sqrt(9)! * sqrt(9)! +  9 
  46 =  1 + sqrt(9)! * sqrt(9)! +  9 
  47 = -1 + sqrt(9)! *  9  - sqrt(9)! 
  48 =  1 * sqrt(9)! *  9  - sqrt(9)! 
  49 =  1 + sqrt(9)! *  9  - sqrt(9)! 
  50 = -1 + sqrt(9)! *  9  - sqrt(9)
  91 =  1 + 9 * 9 + 9   
  92 = -1 - sqrt(9)! + 99
  93 = -1 * sqrt(9)! + 99
  93 = (1 + 9) * 9 + sqrt(9) 
  94 =  1 - sqrt(9)! + 99
  95 = -1 - sqrt(9)  + 99
  96 = -1 * sqrt(9)  + 99
  96 = (1 + 9) * 9 + sqrt(9)! 
  97 =  1 - sqrt(9)  + 99
  98 =  -19  + 99  
  99 =  19  * 99  
  99 = (1 + 9) * 9 + 9  
 100 =  19 + 9 * 9      
Jede weitere Lösung ist höchst willkommen, denn bei 100 ist lange noch nicht Schluß!!!
Tabelle der Lösungen (größer als 100) : gefunden von Thomas Soueid
 101 = -1 + 99 + sqrt(9)
 102 =  1 * 99 + sqrt(9)
 103 =  1 + 99 + sqrt(9)
 104 = -1 + 99 + sqrt(9)!
 105 =  1 * 99 + sqrt(9)!
 106 =  1 + 99 + sqrt(9)!
 107 = -1 + 99 + 9
 108 =  1 * 99 + 9
 109 =  1 + 99 + 9
 110 = -1 +(sqrt(9)!)! / sqrt(9)!-9
 111 =  1*(sqrt(9)!)! / sqrt(9)! - 9
 112 =  1+(sqrt(9)!)! / sqrt(9)! - 9
 113 = -1+(sqrt(9)!)! / sqrt(9)! - sqrt(9)!
 114 =  1*(sqrt(9)!)! / sqrt(9)! - sqrt(9)!
 115 =  1+(sqrt(9)!)! / sqrt(9)! - sqrt(9)!
 116 = -1+(sqrt(9)!)! / sqrt(9)! - sqrt(9)
 117 =  1*(sqrt(9)!)! / sqrt(9)! - sqrt(9)
 118 =  1+(sqrt(9)!)! / sqrt(9)! - sqrt(9)
 119 =  (-1^9)+(sqrt(9)!)! / sqrt(9)!
 120 =  (1^9)*(sqrt(9)!)! / sqrt(9)!
 
 121 = (19) + (sqrt(9)!)! / sqrt(9)!
 122 = -1 + (sqrt(9)!)! / sqrt(9)! + sqrt(9)
 123 =  1 * (sqrt(9)!)! / sqrt(9)! + sqrt(9)
 124 =  1 + (sqrt(9)!)! / sqrt(9)! + sqrt(9)
 125 = -1 + (sqrt(9)!)! / sqrt(9)! + sqrt(9)!
 126 =  1 * (sqrt(9)!)! / sqrt(9)! + sqrt(9)!
 127 =  1 + (sqrt(9)!)! / sqrt(9)! + sqrt(9)!
 128 = -1 + (sqrt(9)!)! / sqrt(9)! + 9
 129 =  1 * (sqrt(9)!)! / sqrt(9)! + 9
 130 =  1 + (sqrt(9)!)! / sqrt(9)! + 9
 
 162 = (19 * 9) - 9 
 168 = (19 * 9) - sqrt(9) 
 174 = (19 * 9) + sqrt(9) 
 180 = (19 * 9) + 9 
 242 = -1 + (9 * 9)* sqrt(9) 
 244 =  1 + (9 * 9)* sqrt(9) 
 
 
 
Jede weitere Lösung ist höchst willkommen, denn auch bei 130 ist lange noch nicht Schluß!!!

Thomas Keller hat es geschafft, innerhalb von 3 Tagen alle Zahlen bis zur 91 nur aus der Jahreszahl 1999 zusammenzustellen - große Anerkennung !!!
[Hinweis: Die Signumfunktion sign(x) ={1 für x > 0 ; 0 für x = 0 ; - 1 für x < 0}, für jede reelle Zahl  (bitte nicht in weiteren Berechnungen benutzen )]

Von "digger" kamen 3 Lösungen für 93, 96, 99 - hierfür meinen Dank!

Die Lücke bei 68 ist geschlossen, dabei wurde zwar etwas "gezaubert"
(periodische Brüche sind eigentlich nicht Grundbestandteil dieser Art Aufgaben, aber ich hatte in den Vorgaben keine Einschränkungen gemacht)

Arno hat es ausgenutzt und 68 wirklich trickreich mit Hilfe eines periodischen Bruches zusammengestellt (mir gefällt diese Variante ;-)); er hat auch die Werte für 92 bis 100 geliefert - Dankeschön!
Auch Ueli Rutishauser hat mit "Trick 17"aufgewartet, um 68 zu erhalten - hat kurzerhand die Funktion : pow( ) für die 2-Potenz verwendet ;-) - auch wenn das mathematisch nicht mehr ganz legal ist, trotzdem meinen Dank;
Von Joerg Thomas kamen weitere Lösungen für 19, 80 - hierfür meinen Dank!
Thomas Soueid hat die Hunderter-Marke übersprungen - grossen Dank!
Von Walter Giebhart kamen im Dez.'99 weitere Lösungen für die Zahlen zwischen 162 bis 244 - herzlichen Dank!

Es gibt im Internet einige Seiten, die sich mit diesem Jahresproblem befasst haben. Eine der umfangreichsten ist die von Heiner Marxen  dort findet man eine Übersicht, über alle möglichen Lösungen bis 200 und einige weiterführende Links.

Ich wünsche allen Besuchern dieser Seite alles Gute für 1999, auch für das Jahr 2000 und dann auch für das 21 Jahrhundert!

 


 
 

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