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+ die Aufgaben 11-20 /'98 +
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Zu der Runde 1998 gehören 20 Aufgaben aus verschiedenen Bereichen der Mathematik und unterschiedlich im Schwierigkeitsgrad.  


 
 

 

Besonders freu' ich mich, wenn ich an dieser Stelle auch Aufgaben einfügen kann,  
die mir zugeschickt worden sind.

Für die großen Denker gibt es eine Hall of Fame,

und am Jahresende

wird der   * * * D E N K mal   S U P E R K O P F   * * *   gekürt !

 

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20. Aufgabe  
einem Blatt Papier stehen 10 Behauptungen:
  1. Zumindest eine der Behauptungen 9 und 10 ist richtig.
  2. Dies ist entweder die erste richtige oder die erste falsche Behauptung.
  3. Es gibt drei aufeinanderfolgende Behauptungen, die falsch sind.
  4. Die gesuchte Zahl ist teilbar durch die Differenz der Nummern der letzten und der ersten richtigen Behauptung.
  5. Die Summe der Nummern der richtigen Behauptungen ist die gesuchte Zahl.
  6. Dies ist nicht die letzte richtige Behauptung.
  7. Die gesuchte Zahl ist durch die Nummer jeder richtigen Behauptung teilbar.
  8. Die gesuchte Zahl ist der Prozentanteil der richtigen Behauptungen.
  9. Die Anzahl der Teiler der gesuchten Zahl (abgesehen von 1 und der Zahl selbst) ist grösser als die Summe der Nummern der richtigen Behauptungen.
  10. Es gibt keine drei aufeinanderfolgenden richtigen Behauptungen.
Wie heißt die gesuchte Zahl? (Bitte kurze Begründung angeben!)

zugeschickt von Roland Spindler - danke und Bonussmily   

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19. Aufgabe  

Primzahlen haben in der Mathematik einen besonderen Reiz, weil sie nur durch sich selbst und durch 1 teilbar sind.

Nun erhielt ich folgende Behauptung von Matthias Wanschura :

"Ich behaupte, dass das Quadrat jeder Primzahl (die größer ist als 3) vermindert um 1, immer durch 6 teilbar ist."

d.h.: 6 ist Teiler von p * p - 1 fuer p > 3 .

....aber, wer kann das beweisen?

 

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18. Aufgabe  

Herr und Frau Walter haben sich für die Silvesterfeier wie in jedem Jahr Gäste eingeladen.
"Wenn alle Eingeladenen erscheinen und um Mitternacht jeder mit jedem anstößt, werden die Gläser 33 mal öfter klingen als im vergangenen Jahr, als wir 2 Personen weniger waren", grübelt Frau Walter.

Wieviel Gäste erwarten die Walters in diesem Jahr?

 

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17. Aufgabe  

  Heute stehen 2 Aufgaben zur Auswahl                    
- aber es muss nur eine davon gelöst werden ;-))

Aufgabe 1:

Es gibt insgesamt 5 Hüte, 3 rote und 2 weiße, von denen drei Personen A, B und C je 1 Hut aufgesetzt wird, ohne dass sie selbst die Farbe ihres eigenen Hutes sehen können.
Die drei Personen stehen hintereinander und können alle nur in eine und die gleiche Richtung schauen, so dass:
- A die Hüte von B und C sehen kann,
- B den Hut von C und
- C keinen Hut sieht.
C soll die Farbe seines Hutes benennen, nachdem erst A und dann B auf die Frage, ob sie die Farbe ihres Hutes sagen könnten, verneinen mussten.
(Begründung nicht vergessen!)


Aufgabe 2:

Drei Forscher werden von Indianern gefangen genommen und an drei hintereinander stehende Marterpfähle gebunden.
Dabei sieht der vorderste Forscher keinen der anderen Kollegen. Der zweite sieht einzig den Marterpfahl mit dem vordersten Forscher. Der dritte sieht vor sich die beiden Marterpfähle mit seinen beiden Kollegen.
Der Medizinmann steckt nun jedem der Forscher eine Feder ins Haar, die er versteckt für den jeweiligen Forscher aus seinem Beutel herauszieht.
Nun spricht der Medizinmann zu ihnen: "Insgesamt hatte ich zwei schwarze und drei weiße Federn in meinem Beutel. Ich gebe euch die Chance frei zu kommen, wenn einer begründet weiß, welche Farbe die Feder hat, die er angesteckt bekam. Aber wehe Ihr könnt die Antwort nicht begründen, dann werdet Ihr alle einen qualvolleren Tod als normalerweise finden !"
Sehr lange herrscht Stille, doch dann schreit einer: "Hurra, jetzt weiss ich es!"
Welcher Forscher war es und welche Farbe hatte seine Feder?
(Begründung nicht vergessen!)

zugeschickt von H.J.Bosbach und Reinhold Petschel - danke und Bonussmily   

 

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16. Aufgabe  
Ölrechnung:

Die Familien eines Dreifamilienhauses stehen vor einer schwierigen Aufgabe.
Sie müssen den Betrag für ihre letzte Ölrechnung bezahlen und haben dabei ihre Einzelbeträge auszurechnen.
Dies wäre alles nicht so schlimm, wenn sie eine Vorstellung von dem, für die Teilung zu benutzenden Teilungsverhältnis hätten. Da alle Wohnungen früher einmal nacheinander leer gestanden haben, ist jedoch bekannt, dass die Wohnungen von den Familien Peters und Meier mit vollen Tanks zusammen genau 77 Tage beheizt werden können, Die Wohnungen der Familie Meier und Held 66 Tage und die Wohnungen der Familien Peters und Held 70 Tage zusammen beheizt werden können.
Herr Peters hat sich mit dem Problem bereits auseinandergesetzt und 660,- DM Unkostenbeteiligung für seine Familie bereitgestellt.

Welche Beträge fallen auf die beiden anderen Familien?
Wie lange können alle 3 Familien mit den vollen Tanks heizen?

zugeschickt von Eric Schommer - danke und Bonussmily   

 

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15. Aufgabe  

 
"Wann werden wir in Sydney landen?", möchte der Fluggast wissen.
"Morgen", antwortet die Stewardess kurz.
"Morgen wann?", will der Reisende wissen.
"Nach zwölf Uhr mittags, Sydney-Ortszeit", lautete die knappe Antwort.
Da diese Antwort den Fluggast nicht befriedigte, fügte sie hinzu:
"Wenn wir genau nach dem Flugplan in Sydney ankommen, dann werden auf dem Zifferblatt einer richtig gehenden, Sydney-Ortszeit anzeigenden Uhr - über den kurzen Weg gemessen - zwischen dem großen und dem kleinen Zeiger entweder einmal oder zweimal dreizehn Minuten liegen. übrigens werden sowohl der große als auch der kleine Uhrzeiger jeweils genau auf einen Minutenstrich zeigen."
Der Fluggast überlegte eine Weile, dann fragte er:"Werden wir vor oder nach vier Uhr dort sein?"
Darauf die Stewardess: "Also, wenn ich Ihnen das verriete, dann können Sie genau berechnen, wann wir in Sydney landen."
diese Auskunft genügte dem Passagier. Man landete in der Tat planmäßig.

Um wieviel Uhr?

zugeschickt von H.J.Bosbach - danke und Bonussmily   

 

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14. Aufgabe  

  Eine Aufgabe aus einem byzantinischen Rechenbuch:

Eine alte Frau verkauft Eier auf dem Markt, und da kamen zufällig zwei Männer daher und stießen die Frau an und zerbrachen die Eier.
Sie führte sie vor den Richter und das Urteil bestimmte, dass die Männer der alten Frau die Eier ersetzen sollten.

Und sie fragten die Alte, wieviel Eier es waren, um sie zu bezahlen,
und die Frau sagt:

Ich weiß es nicht; ich weiß nur das,
dass ich zu zwei und zwei abgezählt habe und es blieb eines übrig,
dann zu drei und drei und es blieb eins,
zu vier und vier und es blieb eins,
zu fünf und fünf und es blieb eins,
zu sechs und sechs und es blieb eins,
zu sieben und sieben und es blieb nichts, nicht ein einziges.

Und soviele Eier der alten Frau waren es.
Ich frage dich, wieviele es waren!

 

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13. Aufgabe  

Du bist der Leiter einer Expedition, die einen Wüstenstreifen von A nach B durchqueren soll. Punkt A sei der Startpunkt vor der Wüste und Punkt B liegt am anderen Ende in einer Entfernung von 100km. Es gibt ein Fahrzeug mit dem die Gruppe am Punkt A losfährt. Dort steht ein unbegrenzten Treibstoffvorrat zur Verfügung, aber es kann immer nur für 50 km getankt werden. Dafür können aber zwischendurch Depots eigerichtet werden.

Beispiel:Du fährst 20 km, deponierst dort Sprit für 10 km und fährst die 20 km wieder zurück. Nun ist dein Auto leer und Du kannst wieder tanken und hast bei Kilometer 20 Sprit für 10 km stehen, das du beim Vorbeifahren wieder mitnehmen kannst (wenn du Platz im Tank hast - Kanister oder ähnliche Behälter für Treibstoff kannst Du nicht mitnehmen).

Wie kannst du nun mit den wenigsten gefahrenen km die Strecke A-B überwinden?
(Hilfestellung: Nach einiger Zeit und einigen Berechnungen beweist dir ein Mitglied der Expedition dass der Weg deutlich unter 500 km liegt.)

diese interessante Aufgabe erhielt ich von Eric Schommer - danke und Bonussmily

 

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12. Aufgabe  

  Zu einer Zeit, als die Menschen weder Computer noch Taschenrechner hatten, also vor einer sehr langen Zeit ;-) konnte man schwierige Multiplikations- und Divisionsaufgaben noch mit Bleistift und Papier lösen.
Als mir vor ein paar Tagen einige alte Aufgaben in die Hände fielen, waren die meisten Zahlen so verblaßt, dass ich nur noch wenige Ziffern erkennen konnte. Sofort stellte sich mir die Frage, gibt es noch einen Weg, die Aufgaben eindeutig zu rekonstruieren?

     Multiplikation          Division

Wenn ja, wie lauteten die Aufgaben vollständig ?(an die Stelle jedes roten Kästchens gehört genau eine Ziffer)

 

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11. Aufgabe  

  Mathematisch gesehen ist an der Zahl Zehn nichts besonderes. Wir Menschen lieben sie nur deshalb so sehr, weil wir zufällig 10 Finger (Zehen) haben. Hätten wir nur 4 Finger, würden wir vielleicht zählen
1  2  3  10  11  12  13  20  21  22  ...usw. statt
1  2  3   4   5   6   7   8   9  10  ...usw.

und statt unserer 3 + 5 = 8 würden wir sagen 3 + 11 = 20

Nehmen wir jetzt an, wir träfen auf einen ALIEN (für viele Menschen durchaus vorstellbar - für manche angeblich bereits Realität geworden), der statt Arme, Hände und Finger eine Anzahl von Tentakeln besitzt, die er als Basis für sein Rechnen benutzt, so würde er auf die Frage nach der Anzahl seiner Kinder vielleicht antworten:
Ich habe 43 Söhne und 52 Töchter, also zusammen 125 Kinder.

Vorausgesetzt, dass er von seinem Standpunkt aus richtig gerechnet hat, wie viele Kinder hatte er dann - nach unseren irdischen Maßstäben - und wie viele Tentakel??

zugeschickt von H.J.Bosbach - danke und Bonussmily   

 

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Aufgabe zum Jahreswechsel  
Mathematiker suchen gerne Beziehungen in Zahlen, ganz besonders in Jahreszahlen.
So kann man auch mit der Jahreszahl 1999 einiges anfangen und kann sie so mit mathematischen Zeichen verbinden, dass sich als Ergebnis natürlichen Zahlen ergeben.

Als Rechenoperationen stehen die 4 Grundrechenarten (Addition +, Subtraktion  - , Multiplikation *, Division /  ) sowie das Radizieren (z.B. sqrt(9) ) bzw. Potenzieren, soweit dazu keine weiteren Zahlen benötigt werden, zur Verfügung.
Die Reihenfolge der 4 Zahlen darf nicht verändert werden; es dürfen keine Zahlen hinzugefügt oder weggelassen werden, aber die vorhandenen Zahlen dürfen "aneinandergehangen" werden wie z.B. bei 19 oder 99.
Auch Fakultät ( ! ) und Dezimalschreibweise (  .1 bzw.  .9) sind gestattet.
(Bei weiteren Lösungen bitte auf diese Vorgaben beschränken ;-))

Die ersten 4 Zahlen kann man zB. so darstellen: (1 * 9 - 9) * 9 = 0
(1 + 9 - 9 )9 = 1
(1 * 9 + 9) / 9 = 2
1 * 9 - sqrt(9) - sqrt(9) = 3
Ein herzliches Dankeschön an alle, die sich bisher beteiligt haben.
Es hat sich inzwischen schon eine beachtliche Anzahl   (siehe hier)  von Lösungen angesammelt.
Trotzdem ist jede weitere Lösung     höchst willkommen, denn bei 100 ist lange noch nicht Schluß!!!

Thomas Keller hat es geschafft, innerhalb von 3 Tagen alle Zahlen bis zur 91 nur aus der Jahreszahl 1999 zusammenzustellen - große Anerkennung !!!
[Hinweis: Die Signumfunktion sign(x) ={1 für x > 0 ; 0 für x = 0 ; - 1 für x < 0}, für jede reelle Zahl  (bitte nicht in weiteren Berechnungen benutzen )]

Von "digger" kamen 3 Lösungen für 93, 96, 99 - hierfür meinen Dank!

Die Lücke bei 68 ist geschlossen, dabei wurde zwar etwas "gezaubert"
(periodische Brüche sind eigentlich nicht Grundbestandteil dieser Art Aufgaben, aber ich hatte in den Vorgaben keine Einschränkungen gemacht)

Arno hat es ausgenutzt und 68 wirklich trickreich mit Hilfe eines periodischen Bruches zusammengestellt (mir gefällt diese Variante ;-)); er hat auch die Werte für 92 bis 100 geliefert - Dankeschön!
Auch Ueli Rutishauser hat mit "Trick 17" aufgewartet, um 68 zu erhalten - hat kurzerhand die Funktion : pow( ) für die 2-Potenz verwendet ;-) - auch wenn das mathematisch nicht mehr ganz legal ist, trotzdem meinen Dank;
Von Joerg Thomas kamen weitere Lösungen für 19, 80 - hierfür meinen Dank!


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weitere

DENKmal Knobelaufgaben vom 1.Halbjahr 1998

 

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Eine Lösungsmethode ist vollkommen, wenn wir von Anfang an voraussehen und sogar beweisen können, dass wir unser Ziel erreichen werden, wenn wir diese Methode befolgen. 
       Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

 
 
 


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Das, wobei unsere Berechnungen versagen, nennen wir Zufall.
           Albert Einstein (1879 -1955) 
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© Karin S., 1998.